Matemáticas modernas

Tiempo atrás escribí una entrada donde decía que el curriculo de matemáticas se estaba haciendo irrelevante para las carreras de ingeniería porque los cálculos matemáticos requeridos por la profesión podían hacerse perfectamente sin necesidad de conocer la teoría, probablemente solo será necesario saber algunas cosas muy específicas como modelar y hacer simulaciones, para eso el currículo estándar que se enseña es en gran parte inútil. Otra vez también escribí las matemáticas no son ciencia, porque hay enormes diferencias entre ambos campos.

Una disciplina muy rara
Las matemáticas son una rama muy rara del conocimiento humano, que avanza con paso de tortuga comparada con la ciencia, pero sus resultados pueden ser eternos: la aritmética inventada por las primeras civilizaciones en Babilonia, hace unos diez mil años sigue vigente y útil hasta el día de hoy, pese a que todos los demás conocimientos de esa época nos parecen primitivos e inútiles. Para que hablar de la geometría de los tiempos de los griegos, el álgebra de los árabes o el cálculo de Liebnitz, los podemos aprender con los mismos libros de esos años, que hoy son completamente válidos. No existe libro más actual que los Elementos de Euclides.

Los problemas más difíciles
Otra rareza es que hay problemas no que no han podido ser resueltos durante siglos, incluso a veces ni se sabe si existe solución. El Instituto Clay de Matemáticas ofrece un millón de dólares para quien resuelva alguno de estos problemas, por ejemplo se ignora si existe solución a las ecuaciones de Navier-Stoker (las favoritas de Ulschmidt) y si de existir, es una solución única. Me contaba mi buen amigo Tito Torres que hay muchísimas ecuaciones diferenciales que tienen el mismo problema: que no han podido ser resueltas y nadie tiene idea como hacerlo excepto por aproximaciones (las Ecuaciones de Einstein entre otras).

Otros problemas como P vs NoP, relacionado a la complejidad, o distintas conjeturas permanecen sin solución pese al paso de los siglos. En la NSA hay un ejército con miles de matemáticos altamente entrenados tratando de resolver la factorización de grandes números primos y que se sepa todavía nadie lo ha logrado, cuando se resuelva ese problema será un golpe demoledor a la encriptación de documentos. Alguna vez leí que se están guardando cantidades masivas de documentos encriptados, con la esperanza que algún día se pueda romper el algoritmo RSA.

Verdades eternas
Las verdades matemáticas duran mucho, pero también podemos demorarnos siglos en encontrarlas. A diferencia de la ciencia, en matemáticas si existen las verdades, es decir afirmaciones que una vez probadas nadie las puede discutir. La prueba matemática se hace a través de un proceso lógico, donde se muestra que una cierta afirmación es consistente. Esta consistencia es formal y puede ser muy rara, incluso puede llevar a paradojas y a conclusiones contra intuitivas, los matemáticos viven peleando contra su intuición, ocurre algo muy raro con eso, pero me alargaría mucho explicándolo.

Por ejemplo la Paradoja de Banash-Tarki, que demuestra que una esfera puede ser cortada de manera tal, que al volverla a armar se obtienen dos esferas del mismo tamaño que la original. Eso es claramente paradójico y contra intuitivo, pero está correctamente demostrado y por lo tanto es una verdad matemática.

Ramas de las matemáticas
Algo tan formal como las matemáticas se clasifica de diferentes maneras: por ejemplo matemáticas puras y aplicadas, etc. Actualmente existen más de 60 categorías o ramas, de esta "disciplina de los patrones", la principales con:

-Aritmética y Teoría de Números, estudia los patrones de los números y su cuenta
-Geometría, estudia los patrones de las formas
-Cálculo, estudia los patrones del movimiento
-Lógica, estudia los patrones del razonamiento
-Probabilidad, estudia los patrones de la suerte
-Topología, estudia los patrones de la cercanía y posición, etc...

Un curso perfectamente inútil
Todo esto a propósito que estoy siguiendo en Coursera Introduction to Mathematical Thinking, del profesor Keith Devlin de la Universidad de Stanford, que enseña las matemáticas modernas, es decir a partir de los últimos 150 años más o menos. Es el curso más inútil que he tomado y no pretendo hacer las evaluaciones, pero me interesa tanto como Exploring Beethoven’s Piano Sonatas de Jonathan Biss y otros que he tomado por puro gusto o curiosidad, estos son los cursos que más me han llenado de satisfacciones.

Matemáticas modernas
A partir del Siglo XIX más o menos, se produjo una revolución silenciosa en las matemáticas. Este cambio el profesor Devlin lo explica de la siguiente manera

Hasta hace unos 150 años atrás, aunque los matemáticos habían llegado a niveles mucho más allá de los números, todavía se consideraban las matemáticas como algo primariamente relacionado con los cálculos. La habilidad matemática esencialmente significaba ser hábil haciendo cálculos o manipulando expresiones simbólicas, en gran parte esa es la matemática que nos enseñan hasta secundaria (...) (nota mía: ¡A los estudiantes de ingeniería en Chile nos enseñan todo el currículo con el mismo enfoque de escuela secundaria!)

Pero durante el Siglo 19 a medida que los matemáticos manejaban problemas más y más complejos, comenzaron a descubrir que sus intuiciones a veces eran inadecuadas y lo contra intuitivo (a veces hasta paradójico) permitía modelar y resolver problemas importantes del mundo real.

(...) Antes del Siglo XIX, los matemátucos pensaban por ejemplo que una fórmula como y = x2 + 3x − 5 especificaba una función que producía un nuevo número y para cualquier valor de x. El revolucionario matemático Dirichlet dijo "olvídense de la fórmula y concéntrense en lo que hace la función en términos de entrada-salida. Una función, de acuerdo a Dirichlet, es cualquier regla que produce nuevos números a partir de los antiguos. La regla no tiene que ser una fórmula y pude que ni siquiera esté restringda a usar números. Una función es cualquier regla que toma objetos de una clase y produce otros nuevos a partir de ellos.

Este último párrafo es -o debería ser- extraordinario para cualquiera que haya estudiado matemáticas en la universidad. Leyendo eso me doy cuenta que me estafaron durante años, enseñándome cosas de una forma anticuada y que con el tiempo no va a servir para nada. Como analogía podría decir que es lo mismo que cuando me enseñaron laboriosamente a multiplicar y dividir con lápiz y papel y no volví a hacerlo nunca más desde que aparecieron las calculadoras.

Con las primeras clases entendí un montón de cosas, por ejemplo hoy se entienden las matemáticas como "el estudio de los patrones", las regularidades, las simetrías y las cosas que se repiten. Entonces cuando me hablan de los misterios maravillosos como las constantes pi y e, que parecen estar en todo el universo por alguna razón mágica que no podemos entender. En realidad no tiene nada de misterioso, si entendemos que la matemática estudia los patrones usando representaciones abstractas, todas esas maravillas y coincidencias asombrosas no tienen nada de raro: es simplemente el descubrimiento de regularidades y repeticiones, no tiene nada de raro porque las repeticiones están por todo el universo, las constantes son solo su representación abstracta, nada del otro mundo.

En fin, entretenidísimo el curso. Si a alguien le interesa ampliar su visión sobre matemáticas modernas este curso le vendrá de perillas, porque muestra precisamente esas cosas que nunca nos enseñaron en el colegio ni en la universidad, y que en el futuro cercano van a ser las únicas matemáticas importantes de entender.

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