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27 septiembre 2011

Ecuaciones para dummies

Una de mis grandes satisfacciones es que algunas entradas de este Templo del Ocio han servido de inspiración para estudiantes. Por ejemplo muchachos a los que no les gustaban las matemáticas me han escrito con entusiasmo después de leer mi Matemáticas para dummies, que incluso se ha reproducido en algunos foros. Bueno, para esos va esta nueva entrada de Ecuaciones para dummies, sin más trámite aquí voy:

Una ecuación es -como lo dice su nombre- una igualdad. En lenguaje matemático igual significa "equivalente a", por ejemplo 10 es idéntico a 10, pero es igual a 5+5, o 7+3, etc. O sea nos podemos imaginar a una ecuación como una balanza: mientras los dos lados del signo igual estén equilibrados todo lo que dice es verdad.

Esto que parece tonto tiene consecuencias interesantes. Por ejemplo si alguien me pregunta mi edad y lo quiero embromar, le podría decir -sin mentir- que el doble de mi edad más ocho años son 120 años, o sea a mi edad, que no quiero decir le pongo una letra x quedaría 2x+8=120 ¡ahí tenemos nuestra primera ecuación!.

La gracia es que esta ecuación la podemos manipular de manera de dejar la x sola a un lado. Por ejemplo si elimino el 8 que se está sumando al lado izquierdo pero le resto (operación contraria) 8 al lado derecho, el equilibrio se mantiene y la ecuación sigue siendo verdadera, o sea 2x=120-8, 2x=112. Puedo eliminar el 2 del lado izquierdo de la misma forma, haciendo la operación contraria al lado derecho, es decir dividiendo, y me queda x=112/2, x=56 ¡esa es mi tierna edad pues!

Este ejemplo sencillo muestra toda la ciencia que tiene el álgebra, mantener el equilibrio dejando la incógnita aislada a la izquierda, todos los otros términos de la izquierda se pasan para la derecha haciendo la operación contraria. Eso se llama "despejar la incógnita" o "resolver la ecuación", nada más que eso.

Ya vimos entonces que un uso de las ecuaciones es decir acertijos para impresionar a los que no saben matemáticas básicas. Pero hay otros usos mucho más interesantes y útiles. El otro uso que tienen las ecuaciones es para hacer modelos matemáticos y poder predecir lo que pasaría si se cumplen ciertas condiciones, sin necesidad de hacer realmente el experimento.

Por ejemplo ¿se han preguntado cuan alto podría ser un rascacielo con los materiales que tenemos? creo que los más altos andan por los doscientos pisos ¿podría hacerse uno de quinientos o de dos mil pisos?. Nuestro sentido común y nuestra experiencia nos dicen que mientras más alto, mayores serán las fuerzas que tiene que soportar para no derrumbarse bajo su propio peso, pero ¿cual es realmente el límite? La resistencia de materiales es una ciencia complicadísima para estructuras complejas pero algo nos pueden ayudar las ecuaciones en esto.

Fue Galileo Galilei, el papá de la ciencia, el supremo, quien se hizo por primera vez estas preguntas. En su libro Dos nuevas ciencias, parte presentando el problema simple de una viga sostenida por dos pilares ¿cuanto se puede alargar la viga separando los pilares sin que se desplome por su propio peso?
Esta es la clase de problemas que preocupó a Galileo y lo llevo a descubrir los modelos matemáticos que culminaron con su monumental trabajo de las leyes del movimiento. Bueno, para estas cosas nos sirven las ecuaciones. Fíjense que nos preguntamos "cuanto" era el máximo que se podía alargar la viga, ese "cuanto" es la incógnita que debemos aislar al lado izquierdo y la ecuación que tome en cuenta todos los factores importantes (peso del material, vientos, terremotos o lo que sea) esa ecuación es nuestro "modelo matemático"

Las incógnitas también se llaman "variables" porque pueden ser cantidades que nosotros vamos variando para ver que pasa. En los modelos matemáticos existe una "variable dependiente" (también se llama variable explicada) que representa lo que queremos saber. En nuestro ejemplo la variable dependiente es "cuanto" podemos aumentar el largo de la viga.

Las otras variables como el peso, la velocidad del viento, la energía de un terremoto, etc. son las "variables independientes" (o variables explicativas) que son la causa, los factores que explican el comportamiento de nuestra variable dependiente.

Así, los modelos matemáticos son ecuaciones, que tienen al lado izquierdo la incógnita, lo que queremos saber, y al lado derecho todos los factores variables que influyen en el comportamiento de nuestra incógnita.

Para hacer un modelo matemático identificamos los factores que creemos son los más importantes para explicar al comportamiento de la variable dependiente, luego se hacen muchas mediciones con diferentes valores para tratar de ver si hay constantes en las variables explicativas. Después de un arduo trabajo de álgebra como el que describí al comienzo, se deja la variable dependiente aislada al lado izquierdo y entonces tenemos un modelo matemático, de la forma y=Ax1+Bx2+Cx3...+Zxn, donde:
y=variable dependiente
A, B, C...Z valores constantes (coeficientes)
x1, x2, x3, ...xn variables independientes
O para decirlo de foma matemáticamente correcta y=f(C1x1, C2x2,...CnXn)

Los mejores modelos matemáticos son simples y potentes, la "ecuación de equivalencia" entre la masa y la energía e=mC^2 es famosa por su simplicidad, por su enorme potencia (permite calcular perfectamente la energía liberada en reacciones atómicas) y llevó siglos llegar a determinarla. Un modelo perfecto.

Pero los modelos no son solo con ecuaciones, en economía se trabaja con modelos de programación lineal que usan "inecuaciones" es decir desigualdades. En lugar de ser balanzas con signo igual son expresiones desequilibradas con signos "menor que" o "mayor que". Estas soluciones no dan un número como resultado sino un área con infinitas "soluciones factibles" es decir valores que cumplen con la desigualdad. La programación lineal tiene métodos para elegir máximos o mínimos dentro de esas infinitas soluciones.

Por ejemplo mis ganancias dependen de muchos factores (costos, capital disponible, ventas, etc.) y yo quiero saber cual es la combinación ideal de esos factores manteniendo una ganancia superior a un millón de pesos. Ese es un típico problema de programación lineal.

Otros modelos matemáticos mucho más controvertidos son los estadísiticos, donde trabajamos con datos inciertos y tratamos de determinar tendencias a partir de nubes de datos que no parecen seguir ningún orden. La mayoría de esos modelos usan métodos de regresión lineal, que tratan de construir una línea donde es más probable encontrar los puntos. Igual que en todos los modelos, los de regresión tienen una variable dependiente y otras independientes y tratan de encontrar los coeficientes. El valor de esos coeficientes es normalmente dudoso como predictor. Ese es el punto débil de muchas investigaciones de ciencias sociales, además de eso que "correlación no implica causalidad".

Los modelos pueden ser bonitos y algunas veces funcionan muy bien, pero no siempre, especialmente cuando se trata de modelar asuntos del comportamiento humano. A veces se olvidan que los modelos funcionan bien solo con problemas sencillos.

16 comentarios:

  1. En hidrología de ríos se busca el "hidrograma unitario" una función de respuesta básica de cada "entrada" de lluvia al sistema. En general se sabe que las crecidas generan una onda, más empinada en su subida y más tendida en su bajante, se asume que cada gota provoca su mini-onda, luego con los gráficos de varios eventos y las lluvias que los provocaron se "compone" un caso promedio del cual se deriva el dicho "hidrograma unitario" - molde que se aplicará a las futuras lluvias para predecir las futuras crecidas.
    Pero todo es un gran acto de Fe: que cada milímetro llovido tiene un resultado lineal e igual al previo o al siguiente, y que pueden sumarse linealmente, algo que la Naturaleza no garantiza ciertamente. Para cuando esto se desarrolló las ecuaciones tenían tanta fama que se asumió que una ecuación debía existir, simplemente.

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  2. Ah la hidraulica! está llena de problemas que no pueden ser modelados matemáticamente o al menos solo de manera aproximada.

    Todavía recuerdo ese ejemplo que contanas hace tiempo de la simulación analógia de una represa con un circuito eléctrico, me pareció alucinante!

    La resistencia de materiales también trabaja mucho con aproximaciones y con intuición. Despues de eso es para morirse de la risa que alguien vrea en serio que se puedan modelar comportamientos humanos o fenomenos económicos.

    Los economistas y sociologos deberian empezar por modelar puentes y represas, a ver si aprenden un poquito de humildad primero.

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  3. Bueno, pero ahora las computadores son tan poderosas! Ver cómo se simula un fluído, nada mas en un juego de computadoras o una película, es una maravilla. La gente no sabe que hay que resolver unas "ecuaciones de Navier-Stokes" unos millones de veces para que una corriente rodeando una piedra y formando un remolino en un arroyo parezca creíble.
    Por cierto el francés Navier intuyó esas ecuaciones que sólo el escocés Stokes pudo demostrar matemáticamente. Navier no se ocupaba mucho de los detalles: todos los puentes que hizo sobre el Sena se cayeron.

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  4. Ulschmidt, yo creo que todavía buena parte de los cálculos de resistencia de materiales se hacen con mucho olfato, un amigo que es viejo calculista me comentó un vez que, sabiendo lo incierto que son esos cálculos, lo pensaría dos veces antes de pasar por un puente o subir a un edificio de esos "vanguardistas", yo creo que no hay mejor estimación que el ojo: lo que parece que se puede caer, eventualmente se cae. CLaro que muchos arquitectos opinan lo contrario.

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  5. En parte es así porque usamos hormigón armado, no acero como los yankees. El hormigón se ha estandarizado mucho y profesionalizado su elaboración pero aún así cuando se prepara en obra la simple decisión de un obrero que le agrega agua demás porque así es más cómodo le cambia las propiedades.
    Y además: las fundaciones, el estudio de suelos, eso sí es complejo. Y si es zona sísmica ni le cuento!. De eso no le voy a hablar porque allí lo sufren en carne propia.

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  6. Claro, el hormigon tiene muchos más detalles en la preparación, curado y todo eso pero el acero también tiene lo suyo. El colapso del World Trade Center no estuvo en los cálculos de ningún ingeniero ni arquitecto, todos habrían apostado a ojos cerrados por daño parcial.

    Con los terremotos, lo que yo he observado en nuetra movida zona que la calidad del suelo tiene más importancia que la mayoría de las demás normas de construción. Aca en Arica con un 8,4 en 1986 quedaron en pié casi todas las antiguas casas de adobe y sin embargo el edificio de concreto armado del hospital -un verdadero bunker de fierro como se vió cuando lo demolieron- quedo con daño estructural irreparable.

    En las construcciones de la universidad se ve clarísimo ese efecto, algunas se parten completas mientras que otras ubicadas cerca no les pasa nada. Claro que conociendo a mi gente- creo que esos le echaron mas arena a la mezcla también jaja

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  7. Ya que hablan de cursos de agua naturales, supongo que conocen el tema de Albert Einstein y su aporte para la explicación de por qué se producen meandros en los ríos...

    http://www.apiperu.com/Articulos/texto.pdf

    Saludos cordiales.

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  8. Glorioso artículo ése del genial Albert! Efectivamente hay una doble helicoidal en los ríos lentos y en cuanto a los meandros son, en la explicación moderna más completa, una interacción líquido-sólido, porque el río tiende a erosionar ciertas partes y a sedimentar en otras - y de hecho los meandros se van corriendo con los años. Para alguien que estaba flotanto en el espacio-tiempo, su breve incursión en la física clásica fue fenomenal.

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  9. Sin contar que apareció de nuevo Coriolis: primero en los WC, luego en un capitulo de los Simpsons y finalmente en Einstein ¡Que tipo!

    Gracias Sergio! no tenía la menor idea de ese artículo, gran aporte.

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  10. Además que Einstein ralló la papa con las turbulencias mucho tiempo a prinipios de su carrera ¿no fue con su ecuación del movimiento browniano que ganó el Nonel? tal vez me equivoque pero creo que fue por algo de ese tipo

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  11. Einstein, si no me equivoco, ganó el Nobel por sus aportes en relación al tema del Efecto Fotoeléctrico

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  12. Einstein sonrió cuando se lo notificaron, pues él consideraba que eran otros sus aporrtes más revolucionarios.

    Corroborado; Wikipedia: "Cuantos de luz de Einstein

    En 1905 Albert Einstein propuso una descripción matemática de este fenómeno que parecía funcionar correctamente y en la que la emisión de electrones era producida por la absorción de cuantos de luz que más tarde serían llamados fotones. En un artículo titulado "Un punto de vista heurístico sobre la producción y transformación de la luz" mostró como la idea de partículas discretas de luz podía explicar el efecto fotoeléctrico y la presencia de una frecuencia característica para cada material por debajo de la cual no se producía ningún efecto. Por esta explicación del efecto fotoeléctrico Einstein recibiría el Premio Nobel de Física en 1921."

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  13. http://es.wikipedia.org/wiki/Efecto_fotoel%C3%A9ctrico

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  14. Ah si, sabía que estaba equivocado (como dijo jalisxo jaja)

    Lo del movimiento Browniano fue el primer artículo de su "Annus Mirabilis"

    "El movimiento browniano es el movimiento aleatorio que se observa en algunas partículas microscópicas que se hallan en un medio fluido (por ejemplo, polen en una gota de agua). Recibe su nombre en honor al escocés Robert Brown, biólogo y botánico que descubrió éste fenómeno en 1827 y observó que pequeñas partículas de polen se desplazaban en movimientos aleatorios sin razón aparente. En 1785, el mismo fenómeno había sido descrito por Jan Ingenhousz sobre partículas de carbón en alcohol."
    (..)
    "Tanto la difusión como la ósmosis se basan en el movimiento browniano.
    La descripción matemática del fenómeno fue elaborada por Albert Einstein y constituye el primero de sus artículos del que, en la obra de Einstein, se considera el Annus Mirabilis ("año maravilloso", en latín), 1905. La teoría de Einstein demostraba la teoría atómica, todavía en disputa a principios del siglo XX, e iniciaba el campo de la física estadística"

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  15. si, además el tipo con eso le da el espaldarazo a la mecánica cuántica... contra la cual va a combatir años luego -"no creo que Dios juegue a los dados" - porque tenía una un intuición estética de la Naturaleza contra la cual choca todo el chirimbolo cuántico.

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  16. Claro, nada más irónico que fue Einstein el que inventó los conceptos de cuantos y fotones que con los años lo terminaron desprestigiando. Nadie sabe para quien trabaja.

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"Send me a postcard, drop me a line
Stating point of view
Indicate precisely what you mean to say
Yours sincerely, wasting away
Give me your answer, fill in a form
Mine for evermore
Will you still need me, will you still feed me
When I'm sixty-four"