Matemáticas no es ciencia

Ahora si, lo que tenía pensado escribir sobre matemáticas. Se trata de la diferencia entre matemática y ciencia, como esta última usa mucho las matemáticas ambas tienden a confundirse y eso puede llevar a mal entendidos o errores.

Ciencia (del latín scientia, que significa conocimiento) es un conjunto de prácticas metódicas con el propósito de predecir los fenómenos naturales. El método científico engloba estas prácticas y se basa en la observación, creación de hipótesis e investigación, lo que debe producir una teoría, respaldada por medio de experimentos reproducibles y sometida a contradicción o escrutinio permanente (condición de falsabilidad). Ninguna teoría tiene valor de verdad y solo es aceptada provisionalmente mientras no sea desmentida por otra nueva.

Las matemáticas son muy diferentes. Su función principal es la de un lenguaje, o sea comunicar ideas mediante símbolos o modelos. El lenguaje matemático se construye en base a un conjunto de axiomas, que son definiciones que se aceptan a priori, sin prueba. A partir de estos axiomas se deducen teoremas (proposiciones verdaderas) usando las reglas deductivas de la lógica.

Los teoremas matemáticos, una vez demostrados, son verdaderos por definición, claro que solo dentro del sistema en que fueron definidos, el único requisito para que un teorema sea verdadero es que no presente inconsistencias lógicas (paradojas). El valor de verdad de los teoremas es pobre porque solo significa que está de acuerdo con las definiciones arbitrarias que fijamos al comienzo. La confusión viene de los matemáticos primitivos, que consideraban los axiomas como "verdades evidentes" que no necesitaban probarse, criterio que no se acepta en las actualidad.

El matemático John Von Neumann dijo una frase muy buena: "las matemáticas no nos ayuda a entender las cosas, sino a acostumbrarnos a ellas". Veamos por ejemplo que pasaría si aplicamos el método matemático a los fenómenos naturales, como solo se requiere consistencia lógica podríamos -por ejemplo- definir el axioma "durante los próximos cien años, nacerán en Chile exactamente un millón de personas cada año" lo que es completamente consistente y podemos construir toda una teoría de planificación en base a ese axioma. ¿Y las predicciones serían acertadas? Claro, pero solo en el marco del sistema donde se cumple el axioma.

Alguien podría discutir "pero un axioma así no es consistente con la realidad" ¿por que no? es lógicamente impecable y no hay manera de probar que eso sea algo imposible, por más improbable que parezca nadie conoce el futuro. Los axiomas no tienen por qué estar relacionados con lo que nosotros percibimos como realidad ni con la mayor o menor probabilidad de que algo ocurra.

Este divorcio entre las matemáticas y la realidad es lo que las hace tan poderosas como lenguaje y tan útiles para la ciencia, porque "realidad" es algo que nosotros percibimos como tal y está sujeta a miles de restricciones, partiendo por la indelicadeza de nuestros sentidos. Sin embargo esta potencia nos puede llevar a cometer tremendos errores si nos olvidamos que las matemáticas solo son construcciones lógicas, hay muchos errores -por ejemplo- en el mal uso de las estadísticas por una comprensión superficial de su alcance, cosa que ocurre frecuentemente en economía y ciencias sociales.

Nada determinado por el método científico se puede considerar verdadero ni menos se puede extender el valor de verdad matemática -que es solo un asunto de manipulación lógica- con el de "verdad científica" un concepto que por si mismo es contradictorio.

2+2=4 ¿cierto? Claro que si, pero además 2+2=5 o cualquier otro resultado, basta modificar un poquito los axiomas y tendremos una nueva aritmética que será tan buena como cualquier otra. ¿Por que entonces elegimos algunos axiomas y no otros? Aquí viene la madre de todas las confusiones, porque tendemos a escoger naturalmente axiomas que no choquen a nuestro sentido común, que nos resulten fáciles de aceptar de manera intuitiva.

Por eso las grandes teorías matemáticas -la Teoría de Conjuntos por ejemplo- se estudian desde dos enfoques: existe una teoría axiomática y otra intuitiva, esta última "hace como" si existieran verdades intuitivamente evidentes, y las acepta aún sabiendo que no existen. Las teorías intuitivas son mucho menos complicadas de entender pero están construídas en el aire, sobre una serie de suposiciones que sabemos que en realidad no son verdaderas por más lógicas que nos parezcan (por ejemplo el axioma todo elemento es idéntico a si mismo no tiene mayor valor de verdad que el del millón de chilenos que nacerá cada año).

Así es que la próxima vez que un economista u otro charlatán me espete eso de que "está estadística mente demostrado..." mejor que ande con cuidado, porque la bofetada conceptual que le voy a dar va a ser fuerte. Las demostraciones matemáticas tienen un valor de verdad sumamente restringido y solo demuestran consistencia interna, nada más.

Pero ni siquiera en matemáticas parecen existir los sistemas que contengan solo "teoremas verdaderos" en el sentido que discutimos antes (sin contradicciones). A principios del siglo XX se empezó a intentar la demostración que estos sistemas axiomaticos deberían ser perfectos, la culminación de estos intentos fue el libro Principia Mathematica de Bertrand Russel y Alfred N. Whitehead, la biblia de los formalistas axiomáticos. Gracias a la sensación que causó ese libro, los que tenemos un poco más de 50 pasamos varios años estudiando Teoría de Conjuntos, tan inútil en la práctica como incomprensible para los pobres profesores que intentaban enseñarla. Parecía que con ese libro quedaba todo dicho.

Pero en 1931 un señor llamado Kurt Gobbel, austriaco y amigo de Einstein, derrumbó todo el edifico de los Principia con un solo artículo, demostrando que para cualquier sistema axiomático bajo ciertas condiciones, por perfecta que sea su lógica, siempre contendrá enunciados que no son demostrables ni indemostrables con los medios permitidos por el sistema. En otras palabras, no existen los sistemas axiomaticos perfectos. O más sencillo: no se puede probar la verdad de los teoremas posibles dentro de ningún sistema matemático, aun cuando la lógica sea impecable.

Lo que nos lleva de vuelta a los sistemas intuitivos, imperfectos y con posibilidad de paradojas. Volvemos entonces al dicho socrático "solo sé que nada sé", el que es en si mismo una paradoja perfecta ¿como se puede "saber" que no se sabe nada?. Y bueno, buscando sobre el Teorema de Godel me encontré con el blog La Bella Teoría de donde saqué algunas cositas además de la foto que ilustra esta entrada, les recomiendo visitarlo. Eso era, hasta mañana.