Votaciones, consensos y Teorema de la Imposibilidad de la Democracia

En las elecciones pasadas, en Arica, el candidato a senador independiente Enrique Lee sacó la primera mayoría y no fue electo, en cambio salió electo un senador con una fracción de sus votos. En todo Chile se eliguieron parlamentarios con un 1% o 2% de la votación gracias al "arrastre" de las listas, "así es el sistema" justificó Giorgio Jackson, pero me gustaría saber que piensan los más de 14.000 que votaron por Lee. Sería interesante saber si votarán en las próximas elecciones después de tamaña burla.

El sistema electoral se cambió entre gallos y medianoche, agregando cupos y cambiando a un "sistema proporcional suavizado D´Hont" que privilegia las listas antes que las votaciones individuales que obtienen los candidatos. De esa manera los partidos políticos que confeccionan las listas pueden colocar a gente que no conoce nadie y que obtiene porcentajes de votación ridículamente bajos.

Todos tenemos la ingenua creencia que si nuestro candidato saca más votos que los demás ganará la elección, que los elegidos son los que sacan más votos, pero no es así, los partidos políticos pueden manipùlar las listas de manera de obtener resultados como los que vimos ahora.

En Inglaterra y Estados Unidos existe el sistema uninominal mayoritario, que obedece a la lógica que se ordenan los candidatos según cuantos votos sacaron y son elegidos los que sacan más votos, eso es lo que dice el sentido común y la lógica, pero no lo que desean los políticos. Los sistemas electorales presentan un complejo problema matemático para que los elegidos representen la voluntad de los que votan. En el curso Networks, friends, money and bytes del profesor Mung Chiang de la Universidad de Princeton, se revisa este problema. Cuando yo hice el curso tomé los apuntes que coloco a continuación, son algo enredados pero sirven para entender la naturaleza del problema de las elecciones y sobre todo las limitaciones reales del sistema democrático. Aquí va

Votaciones y formación de consensos
Una manera de formar concensos es por medio de votaciones. Una votación es un proceso donde por un lado tenemos un grupo de personas (votantes) y por el otro un número de alternativas (candidatos). En un modelo general cada votante tiene una preferencia especial para ordenar la lista de alternativas, es decir se crea una matriz con los candidatos ordenados según las preferencias de cada votante. De todas esas listas ordenadas de manera diferente se debe sacar una sola con un orden que refleje el concenso de todos los votantes. De eso se trata la votación, es un proceso donde varias listas se comprimen en una sola -la ganadora- por lo que gran parte de la información se pierde en el proceso.

Las votaciones son un mecanismo muy importante en la formación de concensos donde hay intereses en conflicto y son fundamentales en la teoría de la Social Choice, que es la base de la economía del bienestar.  Votaciones justas son un gran problema por la imposibilidad axiomática de muchos sistemas conocidos.

Podemos pensar en la votación como una caja negra donde una de sus entradas son todas las listas ordenadas según cada votante y la salida es la lista ganadora.  La votación de la salida debe ser transitiva o sea, en una lista de preferencias A,B,C  si A mayor que B y B mayor que C entonces A mayor que C y no cíclica, no podría en el caso anterios ser C mayor que A.

Hay muchos sistemas de votación y todos tienen problemas. El más conocido es el mayoritario (Kemeny), donde se escoge en orden descendente entre la suma de los votos que obtiene cada alternativa.

Otro sistema es el posicional, una generalización del mayoritario. Este sistema consiste en dar un puntaje según la posición que ocupe en la lista. Por ejemplo el primero en la lista puede obtener 1 punto y todos los demás 0. Luego se cuentan los puntajes. O sea si tenemos tres listas de votos ordenadas (A,C,B) (C,B,A)  (A,B,C), y el lugar 1 tiene 1 punto miwentras los demás tienen 0, los puntajes serían: A=2, C=1, B=0 y la lista resultante sería (A,C,B). Una variante de este es el Borda Count, donde para N votantes, el primer lugar de la lista recibe N-1 puntos, el segundo N-2... etc. hasta el último que recibe 0.

El sistema Condorcet consiste en comparar por pares, lo que hace más sencillo el conteo. Este sistema tiene algunos problemas por ejemplo si comparamos de a pares estar tres listas (A,B,C) (B,C,A) (C,A,B) nos resulta un orden ciclico que es inconsistente. No solo Condorcet sino que todos los sistemas de votación presentan algún problema de consistencia.

Un ejemplo simple muestra que exactamente la misma votación puede dar tres resultados diferentes según el sistema que se use. Supogamos que V1, V2 y V3 votan así por C(hocolate), V(ainilla) S(trawberry)
V1 =(C,V,S)
V2=(S,V,C)
V3=(V,S,C)
Según que sistema se use, después del conteo los resultados son:
Mayoritario (C,S,V)
Borda (V,SC) (S y C empatados)
Cordorcet (V,S,C)

Es un problema serio porque cada sistema de votación -y se supone que los tres son racionales- da resultados distintos para los mismos votos. Solo imaginen esto en una elección política y de hecho ocurre que los resultados de las elecciones están fuertemente determinados por el sistema.

En vista de esta paradoja y muchas otras es que apareció la necesidad de buscar un sistema axiomatico que elimine la posibilidad de que ocurran paradojas en los sistemas de votación. El intento más famoso es el sistema axiomático de Kenneth Arrow para un sistema de votación ideal. Los axiomas de Arrow son cinco:

1. Cada lista de entrada es completa y transitiva (no omite candidatos y lamanera en que están ordenados es consistente)
2. La lista de salida, o sea el resultado, es completo y transitivo (idem)
3. La salida no es idéntica a ninguna entrada (es decir no hay un dictador)
4. Pareto (por ej. si en todas las entradas A>B entonces en la lista de salida A>B)
5. Independencia de las alternativas irrelevantes (IIA), por ejemplo si A>B en todas las entradas, ese orden debe aparecer igual en la salida independiente de cualquier otra alternativa C, D, etc. en medio.

El resultado es el famoso Teorema de la Imposibilidad, no existe ningún sistema de votación -Arrow demostró que no puede existir- que cumpla con estos cinco axiomas para una cantidad de más de 3 candidatos o alternativas. Popularmente se le conoce también como el "teorema de imposibilidad de la democracia".

El axioma que hace imposible un sistema libre de paradojas es el 5, la independencia de las alternativas irrelevantes (IIA). En realidad no existen las alternativas irrelevantes ni la independencia entre más de 3 alternativas y las que se ubican entre dos alternativas cualquiera afectan el orden incluso si se conserva en todas las listas de votación originales.

Esto tiene gran relevancia y no significa que los sistemas de votación estén fallados sino que nuestra intuición, de que existe independencia en el orden relativo de dos candidatos con respecto a los demás no existe. Este problema de "interferencia" de las alternativas "entre medio" se ha tratado de superar cambiando el concepto de order por otro de intensidad, o sea ya no importa solo que A>B sino también cuan intensamente A es mejor que B.

El hecho es que en todos los procesos de votación se produce una compresión de la intención de los votantes: muchas preferencias se comprimen en una sola y en ese proceso inevitablemente se pierde información, lo que lleva a las paradojas en los distintos sistemas.