Tomas Bradanovic

NULLA DIES SINE LINEA. Filosofía barata, historias, historietas, moralejas, chamullos, relatos absurdos, la vida de un vago, cosas de Arica, literatura, música, pornografía, política, física, cocina regional, minas, copete y cosas por el estilo. The awesome, absurd and often bored adventures of our Man of Mistery in Arica, from the trenches, in the Northern Front. Sacar a mil, sacar a mil. Streams of brilliance often springs from boredom. "Be yourself, but bigger"

Maravillas matemáticas: Pitagoras

miércoles, 23 de mayo de 2018

Lo antiguos matemáticos en Grecia, usaban expresiones como "divino, bello, mágico" y cosas por el estilo cuando se referían a algunos aspectos que contiene esta disciplina. Tenemos por ejemplo la sección áurea, ciertas figuras geométricas. Con los años fueron apareciendo más cosas asombrosas, como , los números trascendentales, las series infinitas, la magia de las matrices o el cálculo diferencial e integral, con límites que tienden a infinito pero nunca pueden alcanzarlo y tantas otras.

Aparte de los números para contar y ordenar objetos, una rama de las matemáticas que ha tenido innumerables aplicaciones prácticas es la trigonometría, es decir, el estudio de las propiedades de los triángulos, en especial los rectángulos, que tienen importancia práctica desde los tiempos más remotos.

En uno de los libros de divulgación que escribió Stephen Hawkings, mencionaba que Pitágoras no había sido el inventor del famoso teorema que lleva su nombre, solo lo había generalizado y formulado de manera formal, haciéndolo popular, pero era un propiedad que se conocía desde los tiempos más antiguos que se tiene registro histórico, es decir desde la Civilización Babilonia.

Los antiguos constructores, a medida que iban levantando edificios cada vez más grandes -auspiciados por la megalomanía del rey de turno- empezaron a tener un problema poco usual, pero que resultaba grave a la hora de hacer los cimientos y fundaciones: como lograr una esquina perfecta, es decir, exactamente a 90 grados, sin tener un patrón o un instrumento para hacerr una escuadra de la perfección y el tamaño requeridos. Piensen por ejemplo en el constructor de la Gran Pirámide de Gizah, cuya foto encabeza esta entrada ¿que pasaría si sus cimientos, de unos 200 metros por lado, se desviaran tan solo un poquito?, algo así como esto: 
A medida que ganara altura, la pirámide quedaría cada vez mas chueca. Hoy parece un asunto muy sencillo, pero trazar un cuadrado perfecto en el piso sin instrumentos resulta imposible. Trazar una línea bien recta es fácil tensando una cuerda, pero si el ángulo de donde parte la esquina no es exactamente de 90 grados, mientras más larga es la recta, más se desvía. Las grandes construcciones basan su soporte en formas muy simétricas porque son estables ¿como lo hacían entonces para formar esquinas perfectas? Con un genial invento que nadie conoce su autor: la cuerda de 12 nudos:
Una cuerda con 12 nudos igualmente espaciados. El griego Herón de Alejandría menciona que la cuerda se impregnaba con una mezcla de cera y resina y luego permanecía colgada durante un tiempo determinado con un peso. El objetivo era conseguir una cuerda precisa, con pocas variaciones a cambios de humedad o temperatura. Entonces un tipo tomaba el nudo 1, otro el nudo 5 y otro más el nudo 8, se separaban para dejar la cuerda tensa y ¡voila! un triángulo rectángulo con catetos de 3 y 4 partes y una hipotenusa de 5, entre los dos catetos se formaba una esquina perfecta a noventa grados, allí estaba el instrumento
Y con eso se podía trazar un cuadrado o un rectángulo perfecto, sin desviaciones, para los cimientos de una pirámide, una catedral o lo que fuera. Este invento se usó durante siglos y en la época de los griegos, Pitágoras generalizó esta "proporción mágica" entre 3, 4 y 5 en su famoso teorema válido para todo triángulo rectángulo
"La suma de los cuadrados de los catetos de cualquier triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa". ¿Y cual es la importancia de todo esto? El aporte de Pitágoras fue gigantesco, aunque no descubrió algo nuevo, generalizó una observación particular y esto permitió comprender y modelar miles de fenómenos, asó como resolver millones de problemas particulares.

Las primeras aplicaciones del Teorema de Pitágoras fueron para calcular alturas sin medirlas directamente, gracias a eso Aristarco de Samos pudo calcular con gran precisión la distancia entre la tierra y el sol, haciendo la triangulación y aplicando el Teorema. Antes, Erastotenes hizo la primera estimación del radio de la tierra, usando una vara en solsticio y midiendo su sombra.  Siglos después, se usó la triangulación con las estrellas fijas para orientarse y medir distancias en el mar, el desierto o cualquier lugar donde no existieran lugares cercanos reconocibles. Antes de eso la navegación por mar era casi un suicidio que se emprendía a ojos cerrados, y lo fue así por muchos siglos, hasta que se inventaron los primeros relojes marinos de alta precisión (la hora era fundamental para conocer la posición de las estrellas respecto del horizonte).

Si no conociéramos el Teorema de Pitágoras, al hacer un túnel no tendríamos idea si estamos cavando en línea recta o inclinada, y nuestro túnel podría salir en cualquier parte, al azar, Eupalinos de Samos construyó un túnel casi perfecto de esa manera hace más de 2000 años. El Teorema de Pitágoras es el conocimiento más fundamental, de los muchos que se necesitaron para que el hombre llegara a la luna y en cualquier vuelo espacial. Sin Pitágoras jamás hubiésemos conocido el GPS ni los programas del celular que nos indican por donde ir cuando buscamos una dirección, mucho menos los autos que se conducen solos,

Todas las construcciones hacen uso intenso de Pitágoras para los cálculos de resistencia, todos los gráficos animados de los videojuegos se basan en Pitágoras, en 1857 el matemático y topógrafo indio Radhanath Sikdart midió la altura del Everest sin siquiera acercarse a Nepal, donde el monte está situado. Si los físicos fuesen religiosos deberían profesar la religión trigonométrica, porque gracias a Pitagoras pueden acercarse al entendimiento de el fenómeno físico más fundamental de la naturaleza: las oscilaciones o vibraciones que son la base de la materia, la energía y todo lo que existe. Para que hablar de la electrónica...

Podrían escribirse bibliotecas completas solo con las aplicaciones de una de las observaciones más antiguas en la historia de la humanidad, que al principio solo servía para hacer esquinas perfectas, pero gracias a don Pitágoras fue generalizada en su famoso teorema, que es una de las piedras fundamentales de la ciencia. Díganme ahora si al teorema generalizador de don Pita no merece que le digan "divino, bello, mágico".

Generalmente es malo generalizar, pero hay generalizaciones que son espectaculares.Este es uno de los mejores ejemplos.

P.D. las imágenes de las cuerdas las tomé de https://artifexbalear.org/corda12.htm, mis agradecimientos.

9 Comments:

Blogger Ulschmidt said...

Eso de que una cosa básica como las esquinas perfectas termine en algo como las series de Fourier, realmente, es para asombrarse.

22 de mayo de 2018, 22:08

 
Blogger Tomas Bradanovic said...

Claro Ulschmidt y las series de Fourrier, si la neurona no me traiciona, son trigonometría pura, una de las aplicaciones más asombrosas, que permite representar cualquier onda como una suma de senos y cosenos de distinta amplitud. Uno de mis primeros programnas en computadora fue calcular los coeficientes de Fourrier, pero siguiendo el método analítico, me quebré la cabeza bastante tiempo y funcionó bien para algunas pruebas, por esa época se pusieron de moda los métodos numéricos, a mime pusieron de ayudante en ese curso y abominé de mi programa que usaba el "obsoleto" método analítico. Convertido en un obsesionado con la convergencia y el error, vi que los métodos numéricos eran mucho más sencillos, pero el analítico era exacto, aunque el algoritmo se enredaba como el diablo. Cosas de estudiante.

Siempre pensé que debería haber alguna relación entre las series de Fourier y los armónicos dela música, por ejemplo los que se producen en la caja de resonancia de un piano, guitarra, etc. es completamente análogo, no se si será una tontera o realmente hay relación, algún día voy a buscarlo.

22 de mayo de 2018, 22:17

 
Blogger Ulschmidt said...

..y volviendo a los triángulos y pirámides - que entiendo un poquito más - hubo una serie de pirámides primeras donde los arquitectos cambiaban de ángulo y la encorvaban, cuando se daban cuenta que siguiendo el mismo estilo no iban a coronar bien
http://www.blancatarotmadrid.com/html/19-egipto/19-egipto-01-piramides-03-dashur.html

también están las piramides escalonadas y en definitiva truncas, que resuelven el no saber trigonometría coronando con un plano.
Es decir monumentos fabulosos, que requirieron de presupuestos millonarios, miles de hombres trabajando y salían mal o no podían resolverse enteramente por no saber un teorema que se aprende en la primaria.
Lo que viene a demostrar una vez más el poder fabuloso de la ciencia.

23 de mayo de 2018, 08:06

 
Blogger Leus said...

Y así, hasta la era moderna y el puente de Cau Cau.

23 de mayo de 2018, 09:32

 
Blogger Frx said...

He aprendido aquí del Teorema de Pitágoras más que en el colegio donde lo tenía que simplemente aplicar en ejercicios fomes.

Sería interesante saber más cómo los antiguos se las ingeniaban para construir todos esos templos y edificios en una época donde no existía ni la regla que uno usaba en el colegio.

23 de mayo de 2018, 10:26

 
Blogger Jose Cornejo said...

Y mis neuronas colapsaron con esta columna... reconozco que he sido malo para las matematicas, al menos en geometria me iba mejor

23 de mayo de 2018, 10:30

 
Blogger Tomas Bradanovic said...

Ulschmidt, esa es una gran explicación para las pirámides truncas ¡se les estaban enchuecando y al arquituerto del faraón se le ocurrió crear el nuevo estilo! jaja

Leus, los del puente Cau-Cau son descendientes de los inventores de las pirámides truncas :D

Frx, una cuerda con tiza era el principal instrumento de los antiguos constructores, luego la escuadra y el compás, por eso los símbolos masónicos. Para mover las cosas primero rollizos, después dos ruedas unidas por un eje (versión optimizada del rollizo), palancas y poleas

José, las matemáticas son áridas, pero su historia y los fundamentos son increíbles

23 de mayo de 2018, 11:16

 
Anonymous El mismo JMS... said...

Y yo que creía que la gracia de Pitágoras, no sólo era su teorema para triángulos rectángulos, sino que el generalizado.. Pero mirando un poco, veo que:
a) la gracia de Pitágoras es establecer la demostración (de lo que ya se sabía en forma empírica)
b) Euclides fue capaz de ampliar parcialmente el teorema, sobre triángulos acutángulos y obtusángulos independientemente.
c) los árabes, con la trigonometría integran todo en una única fórmula:
c² = a² + b² - 2*a*b*cos(<AB)

Salute!

23 de mayo de 2018, 23:26

 
Anonymous Anónimo said...

Manuel, compañero, amigo y chileno, https://amath.colorado.edu/faculty/lladser/, a los 10 u 11 años tomó papel y lápiz y "descubrió" la trigonometría el solo. Es brillante. De las mejores y más inteligentes personas que he conocido.

7 de junio de 2018, 09:13

 

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