Teoría de juegos para dummies

Aprovecho que estamos en fiestas patrias para escribir sobre cosas que tal vez interesen a muy pocos, pero yo las veo super interesantes. Una de estas es la Teoría de Juegos y sin más preámbulos aqui voy:

De que se trata y para que no sirve. El concepto de juego es tremendamente amplio e interesante, daría para muchas entradas y seguramente en el futuro escribiré algo sobre eso, tal como el tiempo y otras cosas fundamentales que nos parecen intuitivamente muy claras es algo dificilísimo de definir con precisión.

En matemáticas es un asunto mucho más restringido: se trata de crear modelos formales (es decir bien definidos) sobre situaciones donde hay competencia e incentivos. La Teoría de Juegos no es matemática pura, sino una rama de las matemáticas aplicadas que formaliza algunos procesos de toma de decisiones.

Que no es y que no hace: la Teoría de Juegos no se preocupa de buscar buenas decisiones para ganar en los juegos. Conozco profesores con esta idea equivocada -por su formación y cultura superficial- que incluso llevan a los alumnos al casino y los convencen que hay estrategias matemáticas ganadoras. Eso es la negación de lo que estudia la Teoría de Juegos.

De hecho los juegos que tienen estrategias ganadoras o no-perdedoras son todos triviales (por ejemplo el "gato" o "tres en línea"), los juegos que interesan son precisamente los que no tienen solución. Todo juego básico en matemáticas se caracteriza por tres cosas:

1.- Un conjunto de jugadores o contendientes que compiten por ganar
2.-Un conjunto de estrategias que pueden escoger los jugadores
3.-Una tabla de pagos o castigos que dice cuanto gana o pierde cada jugador después del juego

Además existen las reglas del juego que son los límites dentro de los cuales deben actuar los jugadores. La característica de los juegos no triviales es que no existe estrategia ganadora porque el pago o castigo no depende solo de la estrategia de un jugador, sino que es el resultado de la interacción entre todas las estrategias, por lo tanto es impredecible.

Un ejemplo sencillo es el arquero atajando un penal. Los jugadores son el arquero y el que patea el penal. Las estrategias del arquero (para simplificar) diremos que son tirarse a la izquierda o a la derecha y las estrategias del que patea son tirar la pelota a la izquierda o a la derecha. La tabla de pagos puede ser para el arquero si ataja gana 1, si no ataja -1, para el que patea si hay gol 1 y si le atajan -1. Simple y clásico, aunque no muy interesante.

El ejemplo más famoso para introducir a la Teoría de Juegos es el Dilema del Prisionero. También con dos jugadores que son acusados de un crimen, sus estrategias son confesar o no confesar. Las reglas son que los interrogan por separado, aislados. Si ninguno de los dos confiesa tienen 1 año de cárcel cada uno. Si uno confiesa y el otro no, el que confesó sale libre y el que no confesó tiene 5 años de cárcel. Si ambos confiesan tienen 3 años de cárcel cada uno. En resumen esta es la tabla de pagos para los sospechoso A y B.

Donde los números entre paréntesis son los años, el primer número los años de A y el segundo de B según cada situación. Este juego tiene lo que se llama una "estrategia dominante" pues se puede calcular de la tabla con que estrategia se obtendrían menos años. Por ejemplo si A confiesa hay dos posibilidades: que B confiese y tenga 3 años o que B no confiese y salga libre: la estrategia dominante es "confesar" si se suma la posibilidad de años comparada con "no confesar".

Pero resulta que B podría pensar exactamente lo mismo así es que sería muy probable que obtengan ambos 3 años, o que no es un buen resultado. Algunas conclusiones que se pueden sacar de esto son:

1.-Que existe un óptimo social, donde ambos obtienen el máximo beneficio sumando las penas (cuando ninguno de los dos confiesa: 2 años)
2.-Que existe un peor escenario social donde la suma de penalidad de ambos es máxima (si los dos confiesan: 6 años)
3,.Que existen sub-óptimos sociales donde uno se beneficia totalmente y el otro se perjudica mucho (0 y 5 años).
4.-Que no hay ninguna receta -dentro de las reglas del juego- que asegure un buen resultado, el dilema no tiene solución (por eso se llama dilema) y no hay estartegia ganadora.

Todas las conclusiones que hablan de "desconfianza" o que "es preferible cooperar" no tienen nada que ver con los resultados que entrega el juego y solo son adaptaciones ideológicas o morales que usan la teoría tal como algunos usan las estadísticas para engañar a los que no entienden de un asunto.

Hay otra categoría de juegos interesante, que se llaman de coordinación. Supongamos que Alicia y Bernardo quieren ir al cine, pero Alicia prefiere las películas de romance mientras Bernardo prefiere las de acción. El juego tiene una regla muy sencilla: si no se ponen de acuerdo no van al cine y la tabla de pagos sería esta:

Donde el primer número es el pago de Bernardo y el segundo el de Alicia. Si van a ver una película de acción Bernardo gana más, pero Alicia no pierde todo porque al menos va al cine y viceversa. Es claro que si no se ponen de acuerdo pierden ambos. Este es un juego de coordinación donde una de las partes tiene que cedr para no perderlo todo, estos puntos donde uno cede se llaman "equilibrio de Nash" que en este caso serían acción-acción y romance-romance.

A lo que lleva este juego es a una situación donde los jugadores tienden a no moverse "si no te mueves tu yo tampoco me muevo", en el Dilema del Prisionero también hay un equilibrio de Nash que es cuando ambos confiesan. Un equilibrio de este tipo siempre tiene un resultado sub-óptimo.

En fin, a lo que quería llegar es que en teoría de juegos, igual que en la vida, no existen estrategias ganadoras, nada esta asegurado, excepto para los casos triviales.

P.D. a propósito las descripciones son copias casi textuales de la clase del profesor Meung Chiang sobre el tema, desde ya mis disculpas por el plagio, yo solo lo adorné con unos pocos comentarios.