Un acertijo matemático al límite

En una conversación hace casi un año con mi buen amigo Tito Torres, me planteó que un problema que es bien conocido en la recta numérica, que puede tener un significado muy importante para la física de las partículas, en particular para las subatómicas que constituyen los núcleos de los átomos.

El problema es simple y no hay que ser físico teórico ni nada de eso para entenderlo, de hecho todos los que alguna vez estudiamos las fracciones sabemos que existen algunas con infinitos decimales, por ejemplo 1/3 es 0.333333... etc. hasta el infinito. A partir de eso escribí la entrada Un Acertijo Para el Sábado, donde hablaba de manera muy simplificada sobre el asunto, dentro de lo que yo puedo entender.

El concepto de "límite" en matemáticas es el fundamento del cálculo diferencial e integral y al menos en mi caso, es una de las cosas que me han enseñado más mal en mi vida. Profesores mediocres, mecanicistas, pasaron un semestre enredándome en la operatoria de problemas artificiosos, que jamás me sirvieron para nada, en lugar de tratar de enseñarme que signnifica y para que sirve. Existen matemáticos mecánicos e intuitivos, los primeros son importantes pero todo lo valioso viene de los intuitivos.

La idea intuitiva que yo tengo de un límite es un lugar al que siempre nos podemos acercar más y más, tanto como queramos, sin llegar nunca a alcanzarlo. Es una idea sumamente rara, pero útil en las matemáticas porque nos permite -por ejemplo- calcular áreas bajo una curva, sumando infinitos rectángulos con un ancho que "tiende a cero" o sea su límite es cero. Si sumamos rectángulos de ancho igual a cero no nos sirve porque el área total sería cero, si sumamos rectángulos que tienen un ancho apreciable tampoco nos sirve porque cometemos un error en los bordes que se aercan a la curva, miren:

Lo que está en color naranja es el error. Si se tratara del área bajo una recta todo se hace más fácil, por ejemplo

Donde el área sería exactamente el área del tríangulo azul 6 (6x2=12 dividido por 2), más el área del rectángulo celeste 4 (2x2) o sea 10 (6+4). Fácil como quitrale el dulce a un niño, por eso en matemáticas siempre se trata de hacer "aproximaciones lineales", puesto que los cálculos relacionados con líneas rectas son sencillos y exactos. Ni que decir que estas aproximaciones suelen tener efectos desastrosos, por ejemplo en estadísticas, donde las regresiones lineales permiten prestar ropa "científica" a casi cualquier cuento. Es allí donde la ciencia y la charlatanetría tienden a confundirse.

Pero volvamos al límite. Gracias a este conejo sacado del sombrero de los matemáticos (Cauchi y otros) podemos suponer los siguiente: si los rectángulos verdes de la figura se hacen infinitamente "delgados", pero sin llegar nunca a cero y sumamos un número infinito de estos, entonces tendremos la integral definida -entre 0 y 1 en el ejemplo de la figura, es decir el área bajo la curva con un valor "casi" exacto.

Mediante la formalización matemática de este concepto de límite, podemos obtener valores muy exactos de área bajo la curva (esa es solo una aplicación del concepto de límites, hay muchísimas más). El límite entonces es una herramienta que nos permite haccer cálculos muy exactos en problemas difíciles. Pero eso que funciona tan bien a escala humana o sea en cosas que podemos ver o imaginar, empieza a tener problemas a escala subatómica o a escala del universo, proque allí aparece -según como yo entendí la idea de Tito- que los límites, los infinitos e infiniresimales son solo aproximaciones.

Para esas escalas se necesitarían entonces nuevas matemáticas que -o bien den soluciones exactas, lo que parece bien poco factible- o que den exactitudes tan grandes que puedan explicar los efectos residuales. Entre estos efectos residuales estarían cosas como la radiación de fondo, la no neutralidad de carga del universo, la cantidad al parecer infinita de partículas subatómicas que aparecen a medida que se aplica más energía y muchas otras.

Después de esa conversación hace un año, Tito con su colega, el matemático brasileño Altair Sousa de Assis, presentaron un paper de poco más de una página, es el artículo científico más corto que he visto en mi vida, el que fue aceptado, publicado y ya está teniendo repercusiones porque Sousa ha sido invitado a una conferencia sobre el asunto. Basados en esto han preparado un segundo paper llamado Quark Internal Structure: Could 3/10 be the new elementary charge unity? Que puede ser leído en el link y en sus conclusiones dice algo así como

Mediante el examen de estructura de carga de los hadrones fermionicos y hadrones bosónicos, vemos que todas esas partículas llevan cargas elementales de 0, 1, -1, números enteros, por lo que la representación suya por números reales no es un problema y muestra que es correcta / precisa. 

Sin embargo, la estructura de las partículas Omega es diferente, es bien sabido que su estructura está compuesta por tres quarks; todos ellos con carga elemental -1/3 (un número racional con número infinito de dígitos después del punto decimal). Por lo tanto, si añadimos la carga elemental de esos tres quarks, obtenemos: -1 / 3 -1 / 3 -1 / 3 = -0, 9999999 ......... = y esto es igual a -1 sólo en el sentido de carrera - límite de la serie geométrica -9 / 10-9 / 100- ...... Pero, puesto que los números reales establecidos son "defectuosos" para representar en decimal la fración 1 / 3 (por su número infinito de dígitos después del punto decimal ), pese a que se puede representar adecuadamente como una serie convergente infinita de números decimales con número finito de dígitos después del punto decimal [3,4,5,6].

Esta conjetura muestra que cuando medimos cantidades físicas reales, tales como la carga de las partículas elementales descritos anteriormente, tenemos que entender que en el mundo físico plenamente real, las cantidades pueden ser descritos por los números reales de manera adecuada sólo si se modelan por números racionales con número finito de dígitos después del punto decimal, si tienen un número infinito de dígitos (o sea son irracionales) la interpretación física debería tener más cuidado. Si el espacio y / o tiempo son discretos / granulares todo cambia.

También, de acuerdo a la teoría presentada en esta ecuación ver (0): - Los fotones tienen una masa infinitamente más pequeña que el electrón y diferente entre los fotones en función de la longitud de onda de la radiación; - Los fotones pueden ser absorbidos por el sistema de electrones-protón - Los fotones tienen una carga electrostática positiva infinitamente más pequeña que la de electrones; teoría podría ser verificada por el efecto fotoeléctrico.

La traducción es mía, espero no haber metido la pata. La idea del paper me parece fantástica, simple y muy potente, aunque no entiendo en detalle los problemas de la física involucrados creo que en el fondo lo que está en cuestión es la utilidad del concepto de límite matemático a escalas muy grandes o infinitesimalmente pequeñas, es una idea que me dejó marcando ocupado por mucho tiempo.