Tomas Bradanovic

Fortuna Favet Fortibus. Filosofía barata, historias, historietas, mecánica, moralejas, chamullos, relatos absurdos, la vida de un vago, cosas de Arica, literatura, música, pornografía, política, física, cocina regional, minas, copete y cosas por el estilo. The awesome, absurd and often bored adventures of our Man of Mistery in Arica, from the trenches, in the Northern Front. Sacar a mil, sacar a mil. Streams of brilliance often springs from boredom. Atendido por su propio dueño, dentre nomás

Un acertijo matemático al límite

jueves, 28 de julio de 2016



En una conversación hace casi un año con mi buen amigo Tito Torres, me planteó que un problema que es bien conocido en la recta numérica, que puede tener un significado muy importante para la física de las partículas, en particular para las subatómicas que constituyen los núcleos de los átomos.

El problema es simple y no hay que ser físico teórico ni nada de eso para entenderlo, de hecho todos los que alguna vez estudiamos las fracciones sabemos que existen algunas con infinitos decimales, por ejemplo 1/3 es 0.333333... etc. hasta el infinito. A partir de eso escribí la entrada Un Acertijo Para el Sábado, donde hablaba de manera muy simplificada sobre el asunto, dentro de lo que yo puedo entender.

El concepto de "límite" en matemáticas es el fundamento del cálculo diferencial e integral y al menos en mi caso, es una de las cosas que me han enseñado más mal en mi vida. Profesores mediocres, mecanicistas, pasaron un semestre enredándome en la operatoria de problemas artificiosos, que jamás me sirvieron para nada, en lugar de tratar de enseñarme que signnifica y para que sirve. Existen matemáticos mecánicos e intuitivos, los primeros son importantes pero todo lo valioso viene de los intuitivos.

La idea intuitiva que yo tengo de un límite es un lugar al que siempre nos podemos acercar más y más, tanto como queramos, sin llegar nunca a alcanzarlo. Es una idea sumamente rara, pero útil en las matemáticas porque nos permite -por ejemplo- calcular áreas bajo una curva, sumando infinitos rectángulos con un ancho que "tiende a cero" o sea su límite es cero. Si sumamos rectángulos de ancho igual a cero no nos sirve porque el área total sería cero, si sumamos rectángulos que tienen un ancho apreciable tampoco nos sirve porque cometemos un error en los bordes que se aercan a la curva, miren:
Lo que está en color naranja es el error. Si se tratara del área bajo una recta todo se hace más fácil, por ejemplo
Donde el área sería exactamente el área del tríangulo azul 6 (6x2=12 dividido por 2), más el área del rectángulo celeste 4 (2x2) o sea 10 (6+4). Fácil como quitrale el dulce a un niño, por eso en matemáticas siempre se trata de hacer "aproximaciones lineales", puesto que los cálculos relacionados con líneas rectas son sencillos y exactos. Ni que decir que estas aproximaciones suelen tener efectos desastrosos, por ejemplo en estadísticas, donde las regresiones lineales permiten prestar ropa "científica" a casi cualquier cuento. Es allí donde la ciencia y la charlatanetría tienden a confundirse.

Pero volvamos al límite. Gracias a este conejo sacado del sombrero de los matemáticos (Cauchi y otros) podemos suponer los siguiente: si los rectángulos verdes de la figura se hacen infinitamente "delgados", pero sin llegar nunca a cero y sumamos un número infinito de estos, entonces tendremos la integral definida -entre 0 y 1 en el ejemplo de la figura, es decir el área bajo la curva con un valor "casi" exacto.

Mediante la formalización matemática de este concepto de límite, podemos obtener valores muy exactos de área bajo la curva (esa es solo una aplicación del concepto de límites, hay muchísimas más). El límite entonces es una herramienta que nos permite haccer cálculos muy exactos en problemas difíciles. Pero eso que funciona tan bien a escala humana o sea en cosas que podemos ver o imaginar, empieza a tener problemas a escala subatómica o a escala del universo, proque allí aparece -según como yo entendí la idea de Tito- que los límites, los infinitos e infiniresimales son solo aproximaciones.

Para esas escalas se necesitarían entonces nuevas matemáticas que -o bien den soluciones exactas, lo que parece bien poco factible- o que den exactitudes tan grandes que puedan explicar los efectos residuales. Entre estos efectos residuales estarían cosas como la radiación de fondo, la no neutralidad de carga del universo, la cantidad al parecer infinita de partículas subatómicas que aparecen a medida que se aplica más energía y muchas otras.

Después de esa conversación hace un año, Tito con su colega, el matemático brasileño Altair Sousa de Assis, presentaron un paper de poco más de una página, es el artículo científico más corto que he visto en mi vida, el que fue aceptado, publicado y ya está teniendo repercusiones porque Sousa ha sido invitado a una conferencia sobre el asunto. Basados en esto han preparado un segundo paper llamado Quark Internal Structure: Could 3/10 be the new elementary charge unity? Que puede ser leído en el link y en sus conclusiones dice algo así como

Mediante el examen de estructura de carga de los hadrones fermionicos y hadrones bosónicos, vemos que todas esas partículas llevan cargas elementales de 0, 1, -1, números enteros, por lo que la representación suya por números reales no es un problema y muestra que es correcta / precisa. 

Sin embargo, la estructura de las partículas Omega es diferente, es bien sabido que su estructura está compuesta por tres quarks; todos ellos con carga elemental -1/3 (un número racional con número infinito de dígitos después del punto decimal). Por lo tanto, si añadimos la carga elemental de esos tres quarks, obtenemos: -1 / 3 -1 / 3 -1 / 3 = -0, 9999999 ......... = y esto es igual a -1 sólo en el sentido de carrera - límite de la serie geométrica -9 / 10-9 / 100- ...... Pero, puesto que los números reales establecidos son "defectuosos" para representar en decimal la fración 1 / 3 (por su número infinito de dígitos después del punto decimal ), pese a que se puede representar adecuadamente como una serie convergente infinita de números decimales con número finito de dígitos después del punto decimal [3,4,5,6].

Esta conjetura muestra que cuando medimos cantidades físicas reales, tales como la carga de las partículas elementales descritos anteriormente, tenemos que entender que en el mundo físico plenamente real, las cantidades pueden ser descritos por los números reales de manera adecuada sólo si se modelan por números racionales con número finito de dígitos después del punto decimal, si tienen un número infinito de dígitos (o sea son irracionales) la interpretación física debería tener más cuidado. Si el espacio y / o tiempo son discretos / granulares todo cambia.


También, de acuerdo a la teoría presentada en esta ecuación ver (0): - Los fotones tienen una masa infinitamente más pequeña que el electrón y diferente entre los fotones en función de la longitud de onda de la radiación; - Los fotones pueden ser absorbidos por el sistema de electrones-protón - Los fotones tienen una carga electrostática positiva infinitamente más pequeña que la de electrones; teoría podría ser verificada por el efecto fotoeléctrico.


La traducción es mía, espero no haber metido la pata. La idea del paper me parece fantástica, simple y muy potente, aunque no entiendo en detalle los problemas de la física involucrados creo que en el fondo lo que está en cuestión es la utilidad del concepto de límite matemático a escalas muy grandes o infinitesimalmente pequeñas, es una idea que me dejó marcando ocupado por mucho tiempo.

23 Comments:

Anonymous El mismo JMS said...

Estaba revisando la entrada antigua.. y este comentario apunta más a la antigua que a esta, pero igual :-)

Pa' que haya algo de esta entrada, please corrige donde dice 1/3 = 1.333333 !!!

Me acuerdo del colegio y luego el primer curso de cálculo, con el problema de los números periódicos o semiperiódicos, el 0.3333... (0.3 con raya sobre el 3) se representa como 3/9; pero el 0.9999... quedaba como 9/9 == 1 !!! entonces pregunté al respecto, y me respondieron (muy seriamente) que el 9 periódico no existe como tal, porque violaría una de las reglas fundamentales de los números reales: entre dos números reales, siempre hay un tercer número real.

Al final, el problema del 0.3333... es que no se puede escribir como número decimal y por lo mismo, no se puede "medir" que sea exactamente 1/3... Y ese es el viejo problema de precisión (cuantos decimales) y exactitud (cuan correcta es la medición) de la física...

Salute!

28 de julio de 2016, 14:40

 
Blogger Tomas Bradanovic said...

Hey cura matemático ¡si hay cosas nuevas en esta entrada!
(i) la noticia que el paper de una página fue publicado (no tengo a mano los datos de la revista, los voy a averiguar)
(ii) ya corregí el 1.3333 a 0.3333... era para ver si estaban atentos nomás
(iii) coloco un link al segundo paper que está en preparación (primicia)
(iv) coloqué una bella explicación del concepto del límites, yuo la encuentro bella al menos, no hay hijas feas, jaja!

Yendo al fondo del asunto, es increíble lo chantas que son la mayoría de los profesores de matemáticas, que les encanta enredarse en problemas mecánicos muy artificiosos porque supuestamente con eso muestran su "inteligencia", mientras no gastan ni 10 minutos en pensar que significa realmente las cosas de las que están hablando. Además del asunto de precisión y exactitud, creo que hay una especie de granularidades o vacíos en la recta numérica que impiden, con las matemáticas que conocemos, modelar algunos fenómenos causados por magnitudes casi infinitas (como la carga total del universo) o magnitudes infinitesimales (como la carga de ciertos quarks), en esos problemas aparecen los vacíos y la naturaleza "aproximada" de resultados que ormalmente son muy exactos. Más que un problema de medición es -creo yo- que la matemática normal no sirve para modelar estas cosas.

28 de julio de 2016, 14:56

 
Blogger Ulschmidt said...

Cuando yo enseñé Límite en una secundaria técnica, tenía un alumno cuestionador que sólo quería aprender cosas prácticas, como usar el torno o desarmar motores o conectar cables y que no entendía para qué le iba a servir a él el concepto de Límite.
Le expliqué, mas o menos, que los análisis integral y diferencial se basaban mucho en el Límite, a lo que me replicó que además del Límite no sabía para que le iban a servir a él el análisis integral y diferencial.
Todas esas fórmulas ya están descubiertas y puestas en los manuales, dijo. El no necesitaba aprender ninguna deducción sólo aplicarlas.
Acorralado por su extrema lógica y practicidad al fin aduje:
"Rstudiar Límite le servirá a Ud. para que yo lo apruebe cuando le tome la prueba de Límite"
De lo cual se deduce el Corolario de Ulschmidt "En el Límite el Límite sirve sólo para entender el Límite"

28 de julio de 2016, 16:58

 
Blogger Tomas Bradanovic said...

Ulschmidt, eso más que un colorario me parece una Ley de las Matemáticas de fundamental importancia "Estudiar Límite le servirá a Ud. para que yo lo apruebe cuando le tome la prueba de Límite" Genial.

A propósito hace algún tiempo yo coloqué una entrada donde se decía que el estudio de las matemáticas es cada vez más inútil en ingeniería, el ingeniero de profesión cada día tiene menos situaciones en las cuales debe hacer cálculos y cuando le toca hacerlos las herramientas técnológicas que existen le permiten hacerlo sin saber prácticamente nada, por lo que muchos cursos de matemáticas estarían hoy obsoletos.

Pero que algo no sirva para la profesión no quiere decir que no valga la pena estudiarlo, son cosas muy distintas, lo que "sirve" es un concepto muy restringido, para los trabajos tipo máquina (los antiguos contables por ejemplo que usaban sumadoras de molinete) en cambio las habilidades si sirven.

A mi casi todo lo que me enseñaron en la universidad y en el MBA me sirvió, para despertar la curiosidad y para simplificar cosas enredadas especialemente, que creo que son dos habilidades que tengo. Nada me sirvió directamente pero si mchísimo de forma indirecta

28 de julio de 2016, 17:18

 
Anonymous El mismo JMS said...

Me refería a mi propio comentario... que era más sobre el tuyo antiguo, que sobre el tuyo nuevo...

Respecto de los límites, debo decir que me gusta tu explicación. Hay otra que también puede servir, pero que cuesta hacer sin dinujar. La versión más simple que se me ocurre:
dibuja un cuadrado, si el lado tiene largo a, tienes un perímetro de 4a.
****
****
****
****

ahora "dobla" una esquina justo en la posición a/2 quedará una figura como:
**
**
****
****
si mides el perímetro, seguirá siendo 4a = 2a (los lados que se mantienen) + 4 (a/2) los bordes reducidos.
Si vuelves a doblar las esquinas:
*
**
***
****
el perímetro continúa siendo 4a = 2a (los lados que se mantienen) + 8 (a/4) los bordes reducidos.

Si continúas hasta el infinito, tendrás un triángulo, donde el perímetro ahora será 2a + a raiz(2) (la hipotenusa)...

¿para que sirve todo esto? simple: para poder mandar comentarios ociosos, de los que nos enorgullecemos :-)

Salute!

28 de julio de 2016, 18:13

 
Anonymous Carlos C. said...

Estimado Tomás,

¿Si el problema de fondo está en que no se puede escribir 1/3 en forma exacta (con un número finito de dígitos)? ¿No bastaría con cambiar de base simplemente?

Se puede utilizar la base 12 por ejemplo y ahí 0.333333... en decimal creo que sería 0.4 en base 12.

Saludos.

28 de julio de 2016, 18:14

 
Blogger Tomas Bradanovic said...

Bonita explicación, PERO, si tienes un triangulo al final (en el límite) todavía habrá un área pequeñisima formada por la curva real y la hipotenusa del triángulo, esa área nunca es cero. A nivel "normal" podemos despreciarla, pero a distancias subatomicas o con agregados de todas las cargas del universo me imagino que esas áreas perdidas podrían ser las que causan los efectos medidos, tan difíciles de explicar.

28 de julio de 2016, 18:19

 
Blogger Tomas Bradanovic said...

Hola Carlos, no tiene nada que ver porque no es un problema de representación de los números sino del modelo matemático de la recta numérica, que tiene aparentes contradicciones cuando te acercas a los límites, como la que dice JMS con el número 9.

Las rectas numéricas son filosóficamente fascinantes, eso de que siempre entre dos números hay un tercero, cuando la distancia empieza a tender a cero te lleva a ideas vertiginosas.

Otra, los números enteros 1, 2, 3... etc. son un conjunto infinito. Los reales también son un conjunto infinito y es evidente que deberían haber más reales que enteros, entonces los enteros no podrían ser infinitos o hay infinitos más grandes que otros o el concepto de mayor, menos, contenido en deben ser muy diferentes a lo que pensamos intuitivamente. Cosas sí fueron las que enloquecieron a Goerge Cantor, el gran matemático de la teoría de conjuntos

28 de julio de 2016, 18:29

 
Blogger Ulschmidt said...

Ingenioso lo de JMS ! A propósito, el origen del límite y el análisis están muy influidos por el dibujo y la geometría. "Las rectas se cortan en el infinito" ¿o no? Y todo ese tipo de conceptos.

28 de julio de 2016, 19:10

 
Anonymous Anónimo said...

Me parece que el problema que describe el paper no tiene nada que ver con límites, sino con el nivel de precisión con que puede expresarse una determinada cantidad física.

No hay ninguna duda en que 1/3 = 0,333..., o que 0,999... = 1, ni contradicción alguna. Otra cosa es que la carga de las partículas realmente sea de, por ejemplo, 1/3. Creo que por ahí va la cosa.

Sobre los infinitos, lo que pasa es que el que una cantidad sea infinita no significa que no existan otras más grandes. Evidentemente la cardinalidad de R (conjunto de los números reales) es superior a la de los naturales N, pero ambas son infinitas. Lo mismo con la cantidad de números reales que hay en un segmento de longitud finita, por ejemplo, entre 0 y 1: esa cantidad también es infinita, pese a que la longitud es finita. La palabra "infinito" se entiende como "que no tiene fin".

Para qué hablar de las paradojas en teoría de conjuntos, tipo la del barbero: ¡ésas sí que son entretenidas!


Saludos,
El triministro.

28 de julio de 2016, 19:20

 
Anonymous Carlos C. said...

Estimado Tomás,

No entiendo por qué no tiene nada que ver el cambio de base, si de hecho eso te resuelve el problema del límite, ya que no tienes que calcular ninguno.

Si te fijas en el paper hacen los cálculos esencialmente sumando (1/3 + 1/3 + 1/3) y eso en base 10 es 0.3333...+0.3333...+0.3333... y al tomar el límite tienen problemas al haber "un salto entre la transición de dos números enteros".

Ahora si realizas el mismo cálculo en base 12 tienes (recuerda que estamos en base 12): 4/10 + 4/10 + 4/10 = 0.4 + 0.4 + 0.4 = 1, no hay límite al sumar y por lo tanto tampoco saltos de transición.

Saludos.

28 de julio de 2016, 19:40

 
Blogger Tomas Bradanovic said...

Bueno, Carlos y triministro, me parece que lo que icen no tiene nada que ver con el tema, lo piensan como una dificultad de medir con precisión o una representación numérica, el problema en cambio es de los límites que convergen sin alcanzar nunca un valor determinado, esa es un a herramienta matemática al parecer inadecuada cundo se modelan coas a escalas inmensas o infinitesimalmente pequeñas, en esos casos aparecen efectos que -en el modelo que usa los límites- no deberían existir y esos eectos son los que sugieren que el modelo matemático que se está usando etá mal

28 de julio de 2016, 20:42

 
Anonymous Anónimo said...

Tomás:

Es que no veo por qué eso podría ser un problema. Los límites simplemente dicen hacia dónde tiende una función cuando su variable independiente (o más de una, dado el caso) se acerca a un determinado valor. No hay ningún defecto en eso.

Otra cosa es que el modelo matemático que se usa para representar un fenómeno físico tenga diferencias con la realidad que se hacen significativas en ciertas condiciones (por ejemplo, lo que pasa con las teorías de Newton a velocidades cercanas a la de la luz), pero no es una falla "matemática", sino de modelación y de las posibilidades de abarcar fenómenos con modelos.

También pasa en economía, tal como has dicho muchas veces aquí mismo. La teoría puede decir que si Q es la cantidad producida y p el precio, entonces dQ/dp > 0, y se pueden presentar diversos casos en que eso no se cumple, sin que por ello deje de ser cierto que la derivada de la función Q con respecto a p es mayor que cero. No sé si me explico...

Por cierto, no conozco el contenido del paper (sólo el extracto que publicaste), de modo que sólo estoy especulando.


Saludos,
El triministro.

28 de julio de 2016, 21:54

 
Anonymous Carlos C. said...

Estimado Tomás,

Si te fijas en las conclusiones, el argumento para el cálculo del límite, en el paper de tu amigo es el siguiente (usaré notación latex para las fórmulas):

La carga de la partícula $\Omega$ está compuesta de 3 quarks de carga 1/3, como 3*(1/3) = 0.9999999... podemos escribir la carga Q como:

\[
\sum_{k=1}^N \frac{9}{10^k} = Q
\]

(Reemplacé el infinito de la fórmula por N, pero el argumento es el mismo).

Ahora como $N$ no puede ser infinito (forzosamente debe haber un corte), Q no puede ser igual a 1 (Q es infinitesimalmente mas pequeño que 1, porque N es muy grande, pero de todas formas no es igual). Como los números reales "decimales" no pueden representar con una cantidad finita de decimales la fracción 1/3, se concluye entonces que los números reales no pueden representar correctamente todas las cantidades físicas de la naturaleza.

Análisis propio:

Usaremos la base 3 (es mucho mas simple que la base 12) y también son números reales, además de hacer mas fáciles los cálculos.

Primero una lista de los números naturales en base 10 y su equivalente en base 3:

Base 10 Base 3
0 0
1 1
2 2
3 10
4 11
5 12
6 20
7 21
8 22
9 30
10 31

Ahora las fracciones a utilizar en base 10 y base 3

base 10 base 3
1/3 = 0.33333... 1/10 = 0.1
(infinitos (solo 1 decimal)
decimales)


Ahora los cálculos de la carga en base 10 y en base 3:

base 10
Q = 3*0.33333... = 0.99999... converge a 1 en el límite de la cantidad infinita de 9's.

base 3
Q = 10*0.1 = 1 es exactamente igual a 1.

Mi conclusión es que "puede ser que la base decimal" no es adecuada para representar todas las cantidades físicas, pero basta escoger una base cualquiera en donde la cantidad en cuestión posea una cantidad finita de decimales, para solucionar el problema. Además me extrañaría mucho que a la naturaleza le importara que usemos la base 10 o cualquier número que se nos ocurra.

Finalmente un hint no muy útil: si tienes el problema de que la cantidad 1/M tiene infinitos decimales, lo mas fácil es escribirla en base M, siempre vale 0.1 en esa base.

Saludos.

28 de julio de 2016, 21:57

 
Anonymous Carlos C. said...

Lamentablemente no quedó bien formateado el texto.

Les envío los números importantes para quien le interese:

3 en base 3 es igual a 10
1/3 en base 3 es igual a 0.1 (tiene solo un decimal).

3*1/3 en base 3 es igual a 10*0.1 = 1

Saludos.

28 de julio de 2016, 22:04

 
Blogger Tomas Bradanovic said...

Triministro, Carlos C. no se si podré seguir con el asunto porque no soy matemático y lo que digo es solo intuitivo, en cualquier caso yo lo entiendo de la siguiente manera:

Hay efectos cosmológicos y subatómicos, medidos, que no se han podido explicar con los modelos actuales, por ejemplo la radiación de fondo, algunos indicios que el universo no sería neutro en términos de carga eléctrica total, o "anomalías" con la carga al interior de los núcleos de los átomos, todo esto sería el problema que se busca explicar: pequeñas diferencias de carga observadas donde no deberían existir.

El concepto matemático de "límites" no es algo simple y mecánico como la mayoría de la gente piensa y acepta (por ejemplo cuando el triministro afirma que es evidente que 0.999999... es 1) eso es algo que a mi jamás me ha cuadrado, ni cuando lo estudié por primera vez, siempre tuve el convencimiento que el límite implica una aproximación no un lugar donde se llega.

El concepto de infinito en términos de distancia o acercamiento, tampoco es algo sencillo, reducible a cardinalidad e incontables, me parece que existe también un problema allí que no se resuelve solo con definiciones.

Mi interpretación del asunto no es que sea mas o menos difícil medir algo con precisión, sino que a nivel cosmológico o subatomico empiezan a aparecer las "aproximaciones" que a nivel normal no existen y por eso aparecen efectos que son observables pero no se explican por las matemáticas que se están usando. Al menos así lo entiendo yo.

28 de julio de 2016, 22:36

 
Anonymous Carlos C. said...

Estimado Tomás,

Quizás podrías comentarle a tu amigo sobre el cambio de base para la suma de fracciones y que te agregue de coautor en el paper jajajaja.

En todo caso por favor avísanos cuando lo publique.

Saludos.

28 de julio de 2016, 22:59

 
Blogger Tomas Bradanovic said...

Aquí está el primero http://www.fourin.org/wp-content/uploads/2016/06/6-3.pdf

28 de julio de 2016, 23:11

 
Anonymous Anónimo said...

Sólo por no quedarme callado (algunas mañas de CSP permanecen):

Sea x = 0,999...
Luego, 10x = 9,999...
Restando a ambos lados de la ecuación, 9x = 9 => x = 1.

El mismo proceso funciona con cualquier decimal periódico o semiperiódico, y de hecho es la base del famoso algoritmo de dividir por tantos 9 como cifras periódicas y 0 como cifras semiperiódicas, etc. Alguna vez lo escribí en su versión generalizada: si te interesa lo puedo buscar y enviártelo.

Por otra parte, como bien dices el límite indica tendencia, no "llegar a". Sin embargo, muchas veces las funciones sí toman el valor límite (por ejemplo, el límite de x, cuando x tiende a 2, es igual a 2, y al mismo tiempo f(2) = 2). Lo que pasa es que la definición de límite no obliga a "pasar por" el 2 y podría ser que la función tienda a algún valor finito aún cuando no esté definida para ese punto. En eso se basan los profesores de Cálculo para molestar a sus alumnos durante todo el semestre: calcular límites en puntos donde la función no puede evaluarse.

Se puede ver lo del 0,9 con límites también: definamos la sucesión recursiva a(1) = 0,9; a(n+1) = 0,9 + a(n)/10. Verás que, a medida que n aumenta, se va formando progresivamente el número 0,999... Se puede probar que la sucesión tiende a 1: haré sólo la parte operatoria (además hay que probar que la sucesión es acotada, creciente y que el límite efectivamente existe). Si el límite existe y es L, entonces se cumple que
L = 0,9 + L/10 => 10L = 9+L => L = 1.

Para mí es una belleza!


Saludos,
El triministro.

28 de julio de 2016, 23:23

 
Blogger Tomas Bradanovic said...

¿"restando a ambos lados de la ecuación, 9x=9?
O soy muy bruto o me estás tomando el poco pelo que me queda

29 de julio de 2016, 00:07

 
Anonymous Anónimo said...

Me parece suficiente para pedirle la renuncia al triministro.

Saludos,

29 de julio de 2016, 10:50

 
Anonymous Anónimo said...

Ninguna de las dos cosas... ¿por qué?

Saludos,
El triministro.

29 de julio de 2016, 11:41

 
Anonymous Carlos C. said...

Elegante demostración Triministro,

Creo que te saltas algunos pasos por eso no se entiende bien. Escribiré todo paso a paso:

X=0.9999....

Multuplicamos por 10:
10X = 9.9999...

Restamos X a ambos lados
10X - X = 9.99999... - X = 9.99999... - 0.99999... = 9

Finalmente 9X = 9 y por lo tanto X = 1.

Saludos.

29 de julio de 2016, 14:15

 

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