Matemáticas

Tensores
Me puse a buscar una buena explicación intuitiva sobre los tensores que es uno de los objetos matemáticos que nunca he entendido bien. Una vez se lo pregunté al Tito Torres, que tiene una gran capacidad para explicar cosas muy abstractas con imágenes intuitivas, pero esa vez no le entendí nada.

Estuve buscando en la historia a ver si algo me aclaraba el asunto, me encntré que al parecer estas cosas fueron inventadas por Einstein porque con la notación en matrices se enredaba demasiado en sus teorías de relatividad. 

Algo de eso me había comentado Tito, decía que la cantidad de subíndices al describir teorías de relatividad con matrices se hacía inmanejable, así es que los tensores eran objetos que simplificaban la notación. permitiendo expresar cosas complicadas con ecuaciones muy cortas.

Finalmente encontré en Facebook una explicación intuitiva muy buena de un profesor de Física que se puede ver aquí, es un párrafo corto que cualquiera que sepa algo de vectores y alguna noción de integrales de línea lo puede entender.

Bueno, la verdad es que a mi no me sirve para nada entender que es un tensor, pero la curiosidad me sirvió mucho porque me di cuenta de algunas cosas en que jamás había pensado como esta

Formalismo y teorías intuitivas en matemáticas
Toda teoría matemática tiene dos caras: la intuitiva (naive, ingenua) y la formal. La cara intuitiva de las matemáticas es siempre la fundamental porque todo conocimiento matemático viene de intuiciones y alegorías con cosas de la vida real.

Ideas como: mucho, poco, nada, quedar debiendo, comparar y cosas así son la base ingenua de la Teoría de los Números. Sin esas ideas intuitivas la teoría no sirve para nada. Sería tan inútil como un trabalenguas e igual de enredado. Todas las teorías matemáticas nacen de nuestra necesidad de explicar o hacer alguna cosa que consideramos "real".

Pero la otra cara es el formalismo, que también es muy importante. Consiste en que toda teoría matemática formal es un invento imaginario sin ninguna relación con cosas reales. 

Ninguna teoría matemática es "real", son solo sistemas formales que deben ser consistentes con sus fundamentos y definiciones, que para colmo son completamente arbitrarios.

Por eso la matemática nunca podría ser una ciencia, es lo opuesto a la ciencia porque consiste en sistemas formales imaginarios. No "existen" los números, ni la geometría ni niguno de los miles de objetos matemáticos que la ciencia usa como herramientas.

A propósito, buscando información sobre los tensores me encontré con esta definición formal:

Un tensor es un objeto matemático que pertenece a un espacio vectorial (tensorial) y que es invariante ante un cambio de base. Cuando cambia la base, sus componentes se pueden recalcular a través de una fórmula conocida.

En palabras más simples "un tensor es un objeto que se transforma como tensor" ¿absurdo? Claro, tal como casi todas las definiciones formales, por ejemplo "un conjunto es una colección (o sea un conjunto) de objetos", o este otro "Un número es un concepto matemático que expresa cantidad (o sea un número)".

Todas estas definiciones que no dicen nada son así porque en el formalismo no se busca describir realidades sino que simplemente definir reglas y hacer sistemas imaginarios, lógicamente consistentes, con eso basta.

Por eso el Teorema de Godell, que dice que "los sistemas matemáticos no pueden ser completos y consistentes al mismo tiempo" es decir si son completos tienen inconsistencias y si no las tienen son incompletos. Ese teorema ensucia todo el formalismo al demostrar que ningún sistema matemático puede ser perfectamente "puro" como se creía antes.

Volvemos entonces a que los sistemas formales son solo una aproximación y las teorías "fundamentales" son las intuitivas o ingenuas, de esas que uno le puede explicar a la abuelita y ella la entiende, o a lo menos que se pueden relacionar con analogías a cosas reales.

El formalismo es mecánico, sigue las reglas de la lógica y no admite las contradicciones, aunque no siempre las puede evitar. Por eso existen las paradojas en la matemática, el estudio de los conjuntos infinitos está repleto de paradojas, tal vez por eso George Cantor -uno de los grandes en eso- se murió loco.

Los mejores alumnos son mecanizados
Cuando se estudia ingeniería o ciencias, el ciclo de matemáticas es de dos a tres años, parte con lo básico -que a diferencia de lo que puede creerse es lo más difícil- hasta llegar a temas muy abstractos y avanzados, que con memoria y buena álgebra se hacen mucho bien fáciles. 

En teoría el alumno debe aprender todo eso y el que se saca mejores notas es el que más ha aprendido y el que mejor domina los temas.

Esa es la teoría, la práctica dice otra cosa. En la vida real se produce una carrera de obstáculos, donde el estudiante tiene unas 5 o 6 asignaturas distintas cada semestre, muchas de ellas son complicadas y hay que rendir pruebas sobre cada una de estas para aprobar.

Es físicamente imposible estudiar y -cimultáneamente- tratar de entender lo que te están enseñando, muy especialmente en ramos de matemáticas, así es que todo se reduce a aprobar las pruebas y exámenes con la mejor nota posible. 

Aprobar pruebas y entender son cosas que van en direcciones opuestas porque para lo primero hay que desarrollar muchas habilidades mecánicas, especialmente de álgebra elemental y de memoria. Los estudiantes -a menos que sean computadoras humanas- tienen que dedicar todo su tiempo a resolver problemas específicos y nada a profundizar o siquiera entender lo que están estudiando.

Así, los que se sacan las mejores notas son los más mecánicos mientras que los que tratan de estudiar de verdad, más allá de los ejercicios que hace el profesor reprueban y se van para la casa. La educación universitaria se convierte entonces en un proceso vicioso que filtra a los memoriones mecanizados que consiguen las mejores notas.

Estos, después de aprobar con honores salen a trabajar pero apenas saben resolver problemas de los textos de ejercicio, sin entender una palabra de lo que estudiaron. Muchos de esos consiguen contratarse en la misma universidad y así se perpetúa este sistema perverso de formar máquinas para resolver problemas inútiles.

Se supone que en los estudios de posgrado, especialmente en el magister, es el momento de profundizar todo lo que no aprendieron en pregrado. Pero hay un pequeño problema: las escuelas de posgrado son un gran negocio y prácticamente nadie reprueba, la exigencia real es ínfima.

El doctorado es más de lo mismo, porque consiste en una investigación al capricho del director de tesis, la mayoría de los cuales usan al candidato a doctor para que haga el trabajo sucio y tedioso de algunas de sus propias investigaciones.

La guinda de la torta es que una vez obtenido el doctorado, la única opción de trabajo viable es hacer clases, normalmente en la misma universidad que le prestó plata a nuestro flamante doctor para sus posgrados. 

Así se cierra el círculo perfecto y por eso tenemos economistas que no saben economía, científicos que no saben estadística y matemáticos muy buenos resolviendo pronlemas pero que no entienden ni una palabra de lo que están haciendo, o peor, enseñando.

Por eso hay que tomar con un granito de sal a muchos de esos estudiantes brillantes que sagan siempre buenas notas. Puede que se trate de malditas máquinas para resolver problemas de libros de texto y que en realidad no sepan nada de nada. 

En fin, que pastiche más aburrido esta entrada pero yo me entretuve bastante escribiéndola. "No se molesten, conozco la salida".