La segunda derivada

Años atrás, nos juntamos varios ex compañeros de la universidad, ya éramos ingenieros y era una de esas alegres ocasiones en que uno se reune a alcoholizarse y recordar viejas historias. En medio de la conversación de borrachos surgió el tema de como se nos habían olvidados las matemáticas y alguien dijo "miren, todos sabemos que la derivada de x cuadrado es 2x, pero ¿cuanto es la integral de x cuadrado?" Era una pregunta básica, cualquier estudiante de cálculo I sabe que la integral es la antiderivada. Nadie pudo, ahora mismo se me iría en collera, a pesar de haber hecho los 3 cursos de cálculo y uno de variable compleja.

Bueno, todo esto va a que se ha puesto de moda la expresión "es que te estás quedando en la primera derivada" para decir que algún asunto tiene otra explicación más profunda de lo que se ve aparentemente. He escuchado esta frase a algunos profesores que estoy seguro ni se acuerdan lo que significa una derivada, así es que me puse a revisar el asunto para ver cual es el sentido de esto en términos matemáticos.

Derivadas para dummies

La idea del cálculo diferencial (derivadas) e integral (integrales) es simple y surgió de la necesidad práctica de conocer la velocidad del cambio, las tendencias y las áreas bajo las curvas en funciones no lineales. Una función es una relación de dependencia entre dos o más valores que varían: por ejemplo mientras más plata tengamos, más cervezas podemos comprar, existe una relación entre cantidad de cervezas que podemos comprar y plata que tenemos, esta relación la podemos escribir en una ecuación así:

nro cervezas = plata que tenemos dividido precio unitario,

o usando la símbología estándar:

y=Kx, donde K=(1/Punit), x= plata que tenemos

O bien podríamos hacer un gráfico que muestre para distintas cantidades de plata cuantas cervezas podemos comprar.

En este caso el gráfico es una línea recta, eso se llama una función lineal y tiene una propiedad muy interesante: basta con que midamos solo dos valores y podríamos predecir todos los demás usando una regla: las funciones lineales son muy fáciles de predecir si conocemos su inclinación o pendiente: basta con prolongar la recta, en nuestro ejemplo la pendiente (inclinación) es el precio. Si lo pensamos bien para predecir todos los valores de cantidad ni necesitamos un gráfico, nos basta con tener la ecuación y dar valores a la plata que tenemos (variable independiente) para obtener la cantidad (variable dependiente).

Pero hay muchas otras funciones que no son lineales: por ejemplo si tiramos una piedra hacia arriba su trayectoria no será una línea recta sino una parábola ¿como podríamos predecir esa trayectoria? o en otras palabras ¿como podemos tener la función (ecuación) que describa esa trayectoria? Ese fue el problema de Newton cuando le cayó el manzanazo y la solución se le ocurrió a él y a su archirrival Liebnitz casi al mismo tiempo: el cálculo diferencial e integral.

Como decía antes la idea no es complicada, se trata simplemente de aproximar una curva que no es lineal a una línea recta, en este caso tomamos la curva y nos imaginamos que la atravesamos con una línea recta formando un arco, este segmento lo hacemos más y más chico (que "tienda a cero") y llegaremos a un punto donde la recta toca a la curva solo en un punto , o sea se transforma en la tangente, esa es la derivada en ese punto. Dicho en forma vulgar una derivada es la aproximación de una curva a una línea recta en un punto determinado, y supongo que las infinitas tangentes en los infinitos puntos de la curva son la función de la primera derivada.

En el dibujo podemos ver como si achicamos el ancho de h hasta hacerlo tender a cero, el arco de recta que corta la curva en dos puntos se hace cada vez menor hasta convertirse en una secante que la toca solo en un punto. O sea la primera derivada nos dice cual es la pendiente, inclinación o velocidad de cambio de una función y mediante algunas triquiñuelas del álgebra más los conceptos de límite podemos obtener una nueva curva, por ejemplo si derivamos la función x cuadrado (parabola) obtenemos 2x (recta con pendiente 2).

Ejemplo si elaboramos la Teoría de Bradanovic, que dice que mientras más plata tiene un tipo podrá conseguir más mujeres, estableciendo que hay una relación directa pero no lineal -un incremento del doble de la riqueza no le conseguirá necesariamente el doble de mujeres- ¿podríamos tomar muchos datos, ajustarlos a alguna función conocida y tratar de predecir para cierta cantidad de plata con cuantas mujeres puede conseguir "algo"? No, porque ese es un problema de ciencias sociales, complejo y que no puede ser reducido a una función con una sola variable independiente. Probablemente ni con muchas variables lograremos buenas predicciones, mejor me busco otro ejemplo. Sin embargo usando la primera derivada podemos, por ejemplo, predecir la trayectoria de una piedra, una bala o un cohete que tampoco son lineales y se pueden modelar en una función simple, es simple F=m*dv/dt, la trayectoria se enreda un poco pero no es nada de otro mundo (especialmente si la sacamos directamente de Wikipedia):

¿Y la segunda derivada? consiste en volver a derivar la primera, ya vimos que la primera derivada nos dice la tasa del cambio de una función en un punto dado. Como la derivada es en cierto modo una pendiente, si resulta igual a cero es que la curva allí tiene un punto de inflexión, pero ¿como saber si es mínimo o máximo? Para eso se una la segunda derivada: el método es igualar a cero la primera derivada, resolver sus raíces y reemplazar en la segunda, dependiendo de los valores (mayor o menor que cero) sabremos si hay un mínimo o un máximo.

O sea la primera derivada nos da la tasa y sentido de cambio de la tendencia y la segunda nos informa donde hay mínimos y máximos, si mal no recuerdo cuando era indeterminado hay que usar la "regla del hospital" como jocosamente la llamábamos. Claro que estoy hablando de las funciones más simples para dar estos ejemplos fáciles pero que permiten entender el fondo del asunto. Como la derivada es una pendiente si su valor es positivo la función está creciendo y viceversa. Cuando la pendiente es cero estamos en una cima o un valle como muestra la figura:

Y volviendo al dicho ese "es que te estás quedando en la primera derivada" vemos que -además de pretencioso- es conceptualmente equivocado: la segunda derivada no da una comprensión más profunda sobre un fenómeno, solo describe otra propiedad específica de él, así es que cuando un siutico les diga ese cliché ya tienen argumentos para corregirlo. Siempre y cuando mis oxidados recuerdos de matemática no me hayan jugado una mala pasada y esté cometiendo algún grave error de concepto, espero que no. Conclusión de toda esta tontería: no usen eso de "la segunda derivada" en el sentido coloquial porque además de ser presuntuoso solo muestra desconocimiento básico de matemáticas.

¡Ah como odio el teléfono! estoy en lo mejor escribiendo mis payasadas y empieza a sonar la endiablada campanilla tal como cuando los amos llaman al mozo, la costumbre dice que tendría que pararme a contestar pero ni muerto lo hago, considero una insolencia, un abuso, que alguien me esté exigiendo con un timbre para que lo atienda. Yo lo dejo que suene y suene, lo que enfurece a mi querida suegra, que acaba de bajar corriendo, con riesgo de quebrarse una pierna y llega toda sofocada a contestar "¿te cuesta mucho pararte?" me pregunta furiosa "muchísimo" le contesto sin dejar lo que estoy escribiendo ahora mismo, que llamen por horas si quieren ni me interesa contestar. Váyanse al diablo porque estoy muy ocupado. Hasta mañana.