Tomas Bradanovic

NULLA DIES SINE LINEA. Filosofía barata, historias, historietas, mecánica, moralejas, chamullos, relatos absurdos, la vida de un vago, cosas de Arica, literatura, música, pornografía, política, física, cocina regional, minas, copete y cosas por el estilo. The awesome, absurd and often bored adventures of our Man of Mistery in Arica, from the trenches, in the Northern Front. Sacar a mil, sacar a mil. Streams of brilliance often springs from boredom. Atendido por su propio dueño, dentre nomás.

La segunda derivada

domingo, 1 de noviembre de 2009

Años atrás, nos juntamos varios ex compañeros de la universidad, ya éramos ingenieros y era una de esas alegres ocasiones en que uno se reune a alcoholizarse y recordar viejas historias. En medio de la conversación de borrachos surgió el tema de como se nos habían olvidados las matemáticas y alguien dijo "miren, todos sabemos que la derivada de x cuadrado es 2x, pero ¿cuanto es la integral de x cuadrado?" Era una pregunta básica, cualquier estudiante de cálculo I sabe que la integral es la antiderivada. Nadie pudo, ahora mismo se me iría en collera, a pesar de haber hecho los 3 cursos de cálculo y uno de variable compleja.

Bueno, todo esto va a que se ha puesto de moda la expresión "es que te estás quedando en la primera derivada" para decir que algún asunto tiene otra explicación más profunda de lo que se ve aparentemente. He escuchado esta frase a algunos profesores que estoy seguro ni se acuerdan lo que significa una derivada, así es que me puse a revisar el asunto para ver cual es el sentido de esto en términos matemáticos.

Derivadas para dummies

La idea del cálculo diferencial (derivadas) e integral (integrales) es simple y surgió de la necesidad práctica de conocer la velocidad del cambio, las tendencias y las áreas bajo las curvas en funciones no lineales. Una función es una relación de dependencia entre dos o más valores que varían: por ejemplo mientras más plata tengamos, más cervezas podemos comprar, existe una relación entre cantidad de cervezas que podemos comprar y plata que tenemos, esta relación la podemos escribir en una ecuación así:

nro cervezas = plata que tenemos dividido precio unitario,
o usando la símbología estándar:

y=Kx, donde K=(1/Punit), x= plata que tenemos

O bien podríamos hacer un gráfico que muestre para distintas cantidades de plata cuantas cervezas podemos comprar.

En este caso el gráfico es una línea recta, eso se llama una función lineal y tiene una propiedad muy interesante: basta con que midamos solo dos valores y podríamos predecir todos los demás usando una regla: las funciones lineales son muy fáciles de predecir si conocemos su inclinación o pendiente: basta con prolongar la recta, en nuestro ejemplo la pendiente (inclinación) es el precio. Si lo pensamos bien para predecir todos los valores de cantidad ni necesitamos un gráfico, nos basta con tener la ecuación y dar valores a la plata que tenemos (variable independiente) para obtener la cantidad (variable dependiente).

Pero hay muchas otras funciones que no son lineales: por ejemplo si tiramos una piedra hacia arriba su trayectoria no será una línea recta sino una parábola ¿como podríamos predecir esa trayectoria? o en otras palabras ¿como podemos tener la función (ecuación) que describa esa trayectoria? Ese fue el problema de Newton cuando le cayó el manzanazo y la solución se le ocurrió a él y a su archirrival Liebnitz casi al mismo tiempo: el cálculo diferencial e integral.

Como decía antes la idea no es complicada, se trata simplemente de aproximar una curva que no es lineal a una línea recta, en este caso tomamos la curva y nos imaginamos que la atravesamos con una línea recta formando un arco, este segmento lo hacemos más y más chico (que "tienda a cero") y llegaremos a un punto donde la recta toca a la curva solo en un punto , o sea se transforma en la tangente, esa es la derivada en ese punto. Dicho en forma vulgar una derivada es la aproximación de una curva a una línea recta en un punto determinado, y supongo que las infinitas tangentes en los infinitos puntos de la curva son la función de la primera derivada.
En el dibujo podemos ver como si achicamos el ancho de h hasta hacerlo tender a cero, el arco de recta que corta la curva en dos puntos se hace cada vez menor hasta convertirse en una secante que la toca solo en un punto. O sea la primera derivada nos dice cual es la pendiente, inclinación o velocidad de cambio de una función y mediante algunas triquiñuelas del álgebra más los conceptos de límite podemos obtener una nueva curva, por ejemplo si derivamos la función x cuadrado (parabola) obtenemos 2x (recta con pendiente 2).

Ejemplo si elaboramos la Teoría de Bradanovic, que dice que mientras más plata tiene un tipo podrá conseguir más mujeres, estableciendo que hay una relación directa pero no lineal -un incremento del doble de la riqueza no le conseguirá necesariamente el doble de mujeres- ¿podríamos tomar muchos datos, ajustarlos a alguna función conocida y tratar de predecir para cierta cantidad de plata con cuantas mujeres puede conseguir "algo"? No, porque ese es un problema de ciencias sociales, complejo y que no puede ser reducido a una función con una sola variable independiente. Probablemente ni con muchas variables lograremos buenas predicciones, mejor me busco otro ejemplo. Sin embargo usando la primera derivada podemos, por ejemplo, predecir la trayectoria de una piedra, una bala o un cohete que tampoco son lineales y se pueden modelar en una función simple, es simple F=m*dv/dt, la trayectoria se enreda un poco pero no es nada de otro mundo (especialmente si la sacamos directamente de Wikipedia):

¿Y la segunda derivada? consiste en volver a derivar la primera, ya vimos que la primera derivada nos dice la tasa del cambio de una función en un punto dado. Como la derivada es en cierto modo una pendiente, si resulta igual a cero es que la curva allí tiene un punto de inflexión, pero ¿como saber si es mínimo o máximo? Para eso se una la segunda derivada: el método es igualar a cero la primera derivada, resolver sus raíces y reemplazar en la segunda, dependiendo de los valores (mayor o menor que cero) sabremos si hay un mínimo o un máximo.

O sea la primera derivada nos da la tasa y sentido de cambio de la tendencia y la segunda nos informa donde hay mínimos y máximos, si mal no recuerdo cuando era indeterminado hay que usar la "regla del hospital" como jocosamente la llamábamos. Claro que estoy hablando de las funciones más simples para dar estos ejemplos fáciles pero que permiten entender el fondo del asunto. Como la derivada es una pendiente si su valor es positivo la función está creciendo y viceversa. Cuando la pendiente es cero estamos en una cima o un valle como muestra la figura:
Y volviendo al dicho ese "es que te estás quedando en la primera derivada" vemos que -además de pretencioso- es conceptualmente equivocado: la segunda derivada no da una comprensión más profunda sobre un fenómeno, solo describe otra propiedad específica de él, así es que cuando un siutico les diga ese cliché ya tienen argumentos para corregirlo. Siempre y cuando mis oxidados recuerdos de matemática no me hayan jugado una mala pasada y esté cometiendo algún grave error de concepto, espero que no. Conclusión de toda esta tontería: no usen eso de "la segunda derivada" en el sentido coloquial porque además de ser presuntuoso solo muestra desconocimiento básico de matemáticas.

¡Ah como odio el teléfono! estoy en lo mejor escribiendo mis payasadas y empieza a sonar la endiablada campanilla tal como cuando los amos llaman al mozo, la costumbre dice que tendría que pararme a contestar pero ni muerto lo hago, considero una insolencia, un abuso, que alguien me esté exigiendo con un timbre para que lo atienda. Yo lo dejo que suene y suene, lo que enfurece a mi querida suegra, que acaba de bajar corriendo, con riesgo de quebrarse una pierna y llega toda sofocada a contestar "¿te cuesta mucho pararte?" me pregunta furiosa "muchísimo" le contesto sin dejar lo que estoy escribiendo ahora mismo, que llamen por horas si quieren ni me interesa contestar. Váyanse al diablo porque estoy muy ocupado. Hasta mañana.

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16 Comments:

Blogger Voy y vuelvo said...

xuxa, yo necesito unas tutorias de Linear Network Analysis (malditos Laplace y Fourier!)

la integral de x^2 me la se, x^(n+1)/(n+1)=x^3/3 (gracias TI-89)

saludos desde mas al norte

1 de noviembre de 2009, 01:23

 
Blogger Tomas Bradanovic said...

Bien! pero con dos detalles:
1.-Te faltó el dx
2.-No era elevado a 2/3? ah ya me confundí de nuevo!

Cuando recién salían los computadores personales (en los 80)yo me quebraba la cabeza pensando para que podrían servir en la práctica, entonces hice un programa que calculaba los coeficienter para las series de fourier usando el método analítico (como se calculan a mano). estaba muy orgulloso de haber inventado la rueda hasta que me enteré que con métodos numérico se podía hacer lo mismo de manera mucho más sencilla y elegante :( buhhh

1 de noviembre de 2009, 09:07

 
Blogger Ulschmidt said...

Bueno, si, pero para llegar de F=m*dv/dt a ese mamotreto de la wiki hay introducida una complicación más que es el rozamiento del aire (CW). Y en cohetes hay una complicación más: al quemar combustible su masa varía, se introduce un dm/dt que lo vuelve todo más horrible.
Por suerte llegaron las computadoras y sus soluciones en incrementos finitos. "La existencia de este recurso no libra al analista de hacer un buen análisis clásico" senteciaba uno de los primeros textos de análisis numérico que leí. Pero en la práctica me parece que hoy AUN los problemas que tienen una solución analítica fácil son atacados con machacado numérico. Ejemplo muy pueril: antes de buscarse la fórmula del interés compuesto, el sistema francés o el alemán alguien se pone a hacer iteraciones con la calculadora para estimar un interés bancario en varios períodos.

1 de noviembre de 2009, 11:08

 
Blogger Tomas Bradanovic said...

CLaro Uslschmidt, en el mundo real todo se complica un poco y a veces hay que agregar más variables, lo bonito es cuando uno puede despreciar muchas de estas complicaciones (por ejemplo el roce afecta poco la trayectoria de una bala o una piedra en una distancia corta) entonces con un modelo limpiecito uno puede concentrarse en lo importante, lo malo es que esto no siempre se puede ni en los cohetes ni menos en el comportamiento de las personas.

A mi me costó aceoptar los métodos numéricos mientras estudiaba, siempre pensaba que los analíticos eran "inteligencia" y los numéricos "fuerza bruta", pero con el tiempo cambié de idea, muchos métodos analíticos se basan en simplificaciones enormes de la realidad.

Cuando uno estudia nadie le dice que los modelos son simplificaciones y que sirven solo dentro de cierto rango.

1 de noviembre de 2009, 11:24

 
Blogger Ulschmidt said...

Gran verdad!! Llegado a este punto y gracias a su temática, tengo que pasar el aviso:
las ecuaciones de Navier-Stokes, cuyas diferentes formas explican por lo menos la mitad de mi carrera universitaria, fueron pergeñadas por un ingeniero francés al que se le caían los puentes que hacía en el Sena (Navier) y que las escribió intuitivamente pero no podía justificarlas y por un matemático escocés (Stokes) que sí encontró el desarrollo.
Son las ecuaciones básicas de la mecánica de fluidos, desde el funcionamiento del grifo hasta los cohetes intergalácticos.
No tienen solución analítica conocida. El Instituto Clay las incorporó como uno de los cinco Problemas del Milenio y pagará un millón de dólares al que encuentre su solución ANALITICA o demuestre matemáticamente que esta solución no existe.
Hasta ahora nadie pudo.

1 de noviembre de 2009, 12:27

 
Blogger Tomas Bradanovic said...

¡Que bonito tema!

Aquí va otro: las "soluciones analíticas" más que una revelación de verdades de la naturaleza y formas lógicas o naturales de describir el mundo real son todas aproximaciones basadas de lo que nuestros imperfectos sentidos aparentemente pueden captar. En eso no se diferencian de los modelos de ciencias sociales ni de las intuiciones más o menos arbuitratias más que en su grado de simplificación.

Jajaj fue mi minuto de filosofía chanta, gran tema...

1 de noviembre de 2009, 12:33

 
Blogger Tomas Bradanovic said...

Y llego a esa conclusión después de sacarle "la segunda derivada" al método científico (esto último para darle más toque chanta)

1 de noviembre de 2009, 12:35

 
Anonymous Anónimo said...

Me estaba entusiasmando con el misterio más grande del universo, la relación entre dinero y atractivo para las mujeres. El Instituto Clay debiera reordenar sus prioridades. Esto es mucho más valioso y de uso práctico.

1 de noviembre de 2009, 13:28

 
Blogger Tomas Bradanovic said...

Ah ese si que es un TEMAZO de primera importancia, aunque a mi no me sería tan útil puesto que no tengo donde caerme muerto.

¿Como se podría hacer una función de utilidad para conseguir mujeres?, eso da para un paper y para el premio Nobel "factores determinantes para que una mujer acceda a tener algo con un completo desconocido". Me imagino que habría que hacer un estudio de mercado, encuestas, focus group, después procesar las encuestas con el SPSS, hacer una reducción de variables, ah y ¡voilá! ¡la fórmula! ah, soñar no cuesta nada...

1 de noviembre de 2009, 14:48

 
Blogger Voy y vuelvo said...

este blog ha reavivado todas mis pesadillas. series de fourier, integrales, ecuaciones de Navier-Stroke, analisis numerico, etc. No es que no me guste el tema. Es solo que me hace recordar lo odioso que son mis profesores, especialmente esos de matematica que no entiendo como pueden trabajar como docentes cuando lo que menos saben es enseñar.

1 de noviembre de 2009, 16:56

 
Anonymous Wilson said...

A mi me hacia sentido (dentro del sin sentido de pretender enseñar estas leseras, y otras mucho peores, a estudiantes de agronomia ansiosos de una merecida jarana) la segunda derivada con el concepto de aceleracion.
La "Inciclopedia" tiene un articulo semi divertido
http://inciclopedia.wikia.com/wiki/Aceleraci%C3%B3n

1 de noviembre de 2009, 19:06

 
Anonymous Anónimo said...

La gran verdad que nos cuesta digerir es que los humanos somos discretos con aspiraciones de continuidad.

1 de noviembre de 2009, 19:15

 
Blogger Tomas Bradanovic said...

Voy y vuelvo, que mala, cuando enseñan cálculo con énfasis en la operaoria es una tortura. Yo tuve la suerte de tener puros profesores de lujo en esos ramos así es que aprender fue una fiesta. Mi reconocimiento para ellos: en Inacap uno de apellido Galleguillos que parecía albañil pero era un gran matemático, con investigaciones y todo. En la U llegarron justo un grupo de master recién egresados de la U Santa María (los trajeron para crear las ingenierías civiles), los dos mejores eran Jaime Dávila y Luis Hevia, secos, empezaron a arnmar conferencia peiódicas gratis que se llamaban los "coloquios matemáticos" lo que puso muy nerviosos a los viejos profesores, que los acusaron de comunistas y los echaron a todos (ah los 80s).

Otro gran profesor fue don Carlitos Mendizabal que ahora hace clases en universidades de Santiago, yo fui su ayudante en cálculo2 y ecc diferenciales. ¡mis saludos y reconocimientos para todos ellos!. Con malos profesores esos cursos deben ser una tortura.

Wilson, me desatornillé de la risa, la inciclopedia jaja genial, claro, esas son aplicaciones físicas, la velocidad es la primera derivada del desplazamiento respecto del tiempo v=dv/dt, la aceleración es la segunda derivada o sea la derivada de la velocidad a=dv/dt

Anónimo cierto cierto, el mundo parece que es discontinuo y probabilistico mientras que nosotros deseamos que fuera continuo y deterministico, mala suerte nuestra...

1 de noviembre de 2009, 19:33

 
Anonymous Sigfridus said...

Mendizabal???...yo me acuerdo de un viejito del mismo apellido que me hizo cálculo, bien simpático el viejito por cierto y muy práctico para enseñar, nada de "manfinflas"...¿será el mismo?
Pd: Siempre le leo el "querida suegra" en cursivas, supongo que es porque quiere resaltar que la quiere y estima. X-D

1 de noviembre de 2009, 20:59

 
Blogger Tomas Bradanovic said...

Si pues, creo que tu mismo hace años me comentaste que te había hecho clases, otro me comentó que le había hecho en la Escuela Militar también. Gran valor don Carlitos, su hermano Hugo fue mi profesor de Electrónica 1 y 2 también excelentes personas

Ahhh mi querida suegra

1 de noviembre de 2009, 21:23

 
Blogger Tomas Bradanovic said...

Ulschmidt ¿el mismo Stockes del maldito teorema? (relación entre una integral de línea y una de superficie) ouch, estaba viendo unos apuntes de calculo vectorial y me reencontré con mi pesadilla ¿como le voy a calcular el área a una línea? ??? jajaja chiste de los tiempos aquellos...

3 de noviembre de 2009, 01:38

 

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