Mi gran amigo Tito Torres -que es físico- me plantea el siguiente acertijo:
Si un segmento de recta de longitud 1 lo dividimos en tres partes iguales, cada parte tendrá el tamaño de 1/3. Pero 1/3 es un número racional. Si este número lo pasamos a decimal nos entrega un resultado con infinitos dígitos 1/3=0.33333... etc.
Ok, si yo sumo 1/3+1/3+1/3 el resultado es 3/3 o sea 1. Pero que pasa si yo sumo 0.33...+0.33...+0.33 ¿el resultado es exactamente 1?.
Sabemos por la teoría se los números que los racionales pueden ser representados como una suma infinita, por ejemplo para 1/3 sería de la forma
3/10 + 1/10*(3/10 + 1/100*(3/10) + 1/1000*(3/10) + ... etc.
Si sumamos 1/3 tres veces, sumando el resultado de esas tres sumas infinitas ¿nos dará exactamente 1?. Si tiene infinitos decimales no debería dar un número exacto, eso sería posible solo aplicando el concepto de límite. El resultado de esta suma sería
Es decir 0.99999... y como es una suma infinita no llegaría nunca exactamente a 1
Lo que plantea el siguiente problema físico: es imposible dividir algo en tres partes exactamente iguales. Podemos dividir en mitades, cuartos y otras proporciones en partes exactamente iguales pero no en tres tercios ni, en general, en ninguna fracción que tenga un equivalente con infinitos decimales.
Algo que parece trivial podría tener una importancia enorme para la física de las partículas, porque si una partícula está compuesta de tres componentes, y si la carga de los tres es exactamente igual no pueden sumar exactamente 1, sino que sumarían 0.99999... etc.
Lo dejo hasta aquí, a disposición por si anda algún matemático o un filósofo que se maneje con la teoría de los números.
P.D. y para poner una complicación más vean esto: yo puedo tener tres segmentos exactamente iguales y los coloco consecutivamente, a la suma de esos tres segmentos la defino como una unidad, luego podría separarlos y los tres serían exactamente iguales. Sin embargo si tengo un solo segmento que le doy valor 1 y trato de dividirlo en tres partes iguales, nunca podría lograrlo porque por más fino que mida, siempre cada segmento tendrá el 0.333... de la unidad y su suma será 0,999... etc. ¿o no?
A continuación una de los pocas explicaciones que he visto donde el tipo se asombra por el problema de "1/3" el resto de los "matemáticos" ni siquiera lo notan, están muy ocupados con la operatoria mecánica.
Me sorprende que se enreden en artificios del lenguaje matemático. El abecedario de los decimales no sirve para expresar esa realidad, simplemente. Es base 10. Usen el que sí sirve, las fracciones. U otra base.
ResponderBorrarLa base no tiene absolutamente nada que ver
ResponderBorrarPensar en la recta numérica da vértigo, sin embargo es un tema que casi no se enseña en matemáticas como pueden ver en este artículo
ResponderBorrarhttp://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/propuestas-didacticas-em/v6n1-may-2005/
Las cosas más misteriosas se enseñan de manera superficial, mecánica y aburrida
https://youtu.be/TINfzxSnnIE
ResponderBorrarla correcta suma de 0,333...+0,333...+0.333... = 0,999.... o sea, no llega a 1 pero si uno pone los puntos suspensivos, llega o se entiende que llegará.
ResponderBorrarPero lo más divertidos son los irracionales, aquellos que además de no tener fin no tienen ninguna regularidad, ni siquiera periódica, con la raíz cuadrada de 2 o el número Pi.
La secta griega que descubrió esa propiedad prohibió a sus miembros divulgarlo, cual horror de la Naturaleza.
Y aún en el siglo XIX, según cuenta Asimov en su delicioso "De los números y su historia" una legislatura del Medio Oeste yankee opinó que el número Pi no podía ser anarquicamente interminable y lo dejó por Ley en 3.14. Estaban pensando en los cálculos de los agrimensores, pro supuesto, pero Asimov agradece que la gente no los tomara en serio porque sino las ruedas de los carros, en ese Estado, debieron ser hexágonos de muchos lados en vez de círculos y se habría notado el golpeteo al andar.
... eroror! debieron ser "polígonos" de muchos lados. Los hexágonos tienen siempre 6 lados.
ResponderBorrarUlschmidt, la recta numérica está llena de paradojas con el infinito, por ejemplo los números naturales son un conjunto infinito, sin embargo los numeros reales, que también son infinitos, contienen a todos los naturales y les agregan más ¿es un infinito más grande que el otro? Cosas como esta deben haber chiflado a _Cantor, el gran teórico de los números y la Teoría de Conjuntos, que murió loco.
ResponderBorrarLo que pasa es que esta conjetura de tres tercios que no suman uno podría tener una demostración en el mundo físico: si consideras que toda la materia está hecha de átomos y los átomos están hechos de electrones y protones, considera los electrones con carga eléctrica -1 y los protones del núcleo -que están compuestos de 3 quark cada uno- se supone que también tienen carga eléctrica +1. Se supone entonces que si sumamos todas las cargas de todos los electrones y protones del universo (que son hartos) el universo debería ser eléctricamente neutro (carga total 0).
¿Que pasaría si se encuentra que el universo no es eléctricamente neutro y tiene una carga total muy levemente negativa? Eso botaría la presunción de que la serie "llega o llegará" a 1 y mostraría que cuando se integra un número lo suficientemente enorme (como la cantidad de carga total de electrones y querqa del universo) la teoría de límites sería solo una aproximación y en realidad no converge a 1 sino que a un número muy levemente inferior.
Eso es algo que siempre me ha molestado de la teoría de límites ¿el límite es un valor exacto o solo una aproximación cuando se toman pocas cifras? A propósito,las ruedas perfectamente circulares solo existen en la imaginación de los griegos, las reales todas tienen ripios, basta con verlas con un microscopio :D
Errata, donde dije "cada uno se supone que tiene carga eléctrica +1" debí decir "cada uno se supone que tiene carga eléctrica +1/3 y los tres suman 1"
ResponderBorrarSi intentan este acertijo en Matemáticas base 9, esto es usando solo los números 1,2,3,4,5,6,7,8 y 0 (aquí no existe el 9, es como si hubiese comanzado la historia de las Matemáticas con humanos de 9 dedos), al dividir una longitud en tres queda 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1 ¡Listo! Porque aquí 3+3+3=10. El acertijo aqui expuesto es como querer atornillar con en martillo, intentan resolver con una herramienta que no se adapta (como algunos economistas).
ResponderBorrarEn el dominio de los decimales no se puede dividir algo, exactamente, en tercios, pero en el de las fracciones si.
ResponderBorrarPero claro, yo era huaso y ahora ni eso...
No Wilson, no es un asunto de notación o convencional sino algo físico: la corresponencia entre los conjuntos R, Q y los puntos sobre la recta numérica, algo de eso sale en el link que puse más arriba, tiene que ver con la densidad de la recta.
ResponderBorrarMmm le eche una mirada al link, creo que me quedare de huaso analfa no mas.
ResponderBorrarGeorg Cantor, el genio de la teoría de números se volvió loco tratando de demostrar la "Hipótesis" del continuo, que se refiere justamente a la densidad de la recta numérica
ResponderBorrarhttps://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_del_continuo
https://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
Es una hipótesis muy simple tal como el acertijo que coloqué acá pero vertginosa. LA recta numérica es una de las ideas más asombrosas que existen y se parece mucho a la idea antigua que teníamos del universo: es de una longitud infinita y se puede dividir en infinitos subconjuntos, todos ellos infinitos.
Bueno, en física hoy se cree que el universo no es infinito, tal vez por ahi está la explicación del acertijo y tal vez la recta numérica tampoco sea infinita. Es como para tener pesadillas!
Un hombre construyó una vara de medición, pero era rígida y no pudo medir con ella superficies curvas. ¡Entonces creó el acertijo de las curvas! Es como lo que pasa aquí, los tercios son perfectamente reales, aunque nuestra unidad de medida no puede llegar a ellos. Pero sí existen, los vemos. ¿O llegaron a no creerlos reales porque no pueden medirlos con la vara que usamos normalmente?
ResponderBorrarLos 1/3 , los 1/4 y los 1/2 tendrían los mismos problemas de "densidad" en la recta numérica, así que la "Hipótesis" del Continuo no vendría al caso de este acertijo.
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