Maravillas Matemáticas 2: El libro más perfecto de la historia

Por razones vergonzosas, relacionadas con esa actividad indigna que me repugna mencionar y que comienza con "T,,,,", he vuelto a releer el libro más perfecto y maravilloso que se ha escrito en la historia. Se trata de una aventura intelectual que emprndió Euclides, que vivió 300 años antes de Cristo, cuando cansado de leer tanto conocimiento matemático disperso, decidió juntar todo lo que se sabía, desde el comienzo de la civilización hasta su época en un solo trabajo: Los Elementos.

En realidad no son 13 libros, sino un  libro de 13 capítulos, increíblemente claros. Empieza con 19 definiciones;

Definición 1. Un punto es lo que no tiene partes. Definición 2. Un línea es una longitud sin anchura.  Definición 3. Los extremos de una línea son puntos. Definición 4. Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella. Definición 5. Una superficie es aquello que sólo tiene longitud y anchura. Definición 6. Los extremos de una superficie son líneas.Etc..

Estas definicions son el "vocabulario" con que Euclides define su universo. Luego sigue con 5 postulados:

Postulado 1. Por dos puntos diferentes pasa una sola línea recta. Postulado 2. Un segmento rectilíneo puede ser siempre alargado. Postulado 3. Hay una sola circunferencia con un centro y un radio dados. Postulado 4. Todos los ángulos rectos son iguales.
Postulado 5. Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, la suma de los cuales sea menor que dos ángulos rectos; las dos rectas, suficientemente alargadas se cortarán en el mismo lado.

Todos son afirmaciones muy sencillas que se consideran "verdades evidentes" que no necesitan probarse. Luego define 5 "nociones comunes" similares a los postulados, que son

Noción común 1. Cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.
Noción común 2. Si a cosas iguales se añaden cosas iguales, los totales son iguales también.
Noción común 3. Si a cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales también.
Noción común 4. Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.
Noción común 5. El todo es mayor que la parte.

Y eso es todo, a partir de esas definiciones Euclides organiza -y lo que es más importante, demuestra como verdaderos- 465 proposiciones o teoremas, que resumen todo el conocimiento matemático que se conocía hasta entonces.

Si en los 12 años que se dedican en la enseñanza básica y media a estudiar tantas estupideces, solo se enseñara a leer, escribir, las 4 operciones aritméticas y todos los demás años a estudiar los Elementos, la educación sería mucho más completa y enriquecedora que la basura que hoy se enseña. Yo apenas he hojeado las demostraciones de unos pocos teoremas, pero son todas sencillas, las puede entender hasta un niño, si las lee con suficiente atención.

Pero los Elementos, siendo un libro sublime, no es infalible, aunque se lo creyó así durante más de 18 siglos. Se trata de un sistema auto-contenido y riguroso, que parte de elementos extremaadamente simples hasta llegar a demostrár que toda las matemáticas "son verdaderas". Como el sistema es auto-contenido y todo lo que se dice en él está demostrado en base a las pocas "verdades evidentes" de sus axiomas (apenas 10) y como no contiene ni una sola contradicción, se puede decir que es una obra intelectual simple y a la vez perfecta, indiscutiblemente perfecta.

Exepto por un detalle donde Euclides rompió sus propias reglas: el postulado 5, que podemos ver en la siguiente figura

Es decir que si la suma de los ángulos interiores A y B es menor que 180º (dos ángulos rectos) entonces las rectas en algún punto se cortan, ¿Y cual es el problema con eso? Como pasa muchas veces en matemáticas, el problema es en el límite, cuando A+B= 180º, entonces las dos rectas nunca se cortan y tenemos dos paralelas

¿Y que hay de malo con las paralelas? En una interesante discusión de Yahoo Aswers que podemos ver aquí, podemos ver las opiniones de personas que no saben nada de matemáticas, otros que saben poco y otros más que si entienden discutiendo sobre este problema. Lo más interesante son los argumentos de los que no saben nada y afirman que no tiene nada de raro ni especial que dos rectas mantengan siempre la misma distancia entre sí y jamás lleguen a juntarse, como en los antiguos diálogos de los griegos, ellos son los Simplicius, que argumentan desde la intuición y el sentido común. Ponen por ejemplo los rieles de un tren, que nunca se juntan y se mantienen equidistantes en la "realidad" y pueden seguir así hasta el infinito, aunque en nuestra vista parezcan juntarse a lo lejos.

Sin embargo esto no es una "verdad evidente" ni un hecho de la "realidad", aunque intuitivamente nos parezca así. En el Renacimiento se empezó a estudiar con detalle la perspectiva, que hace que las cosas alejadas tienden a juntarse cuando las vemos proyectadas sobre nuestra retina, de allí salió la Geometría Proyectiva, que entre sus muchas conclusiones asombrosas nos permitió bajar objetos en tres dimensiones a solo dos, proyectándolos sobre una superficie plana. Bueno, brevemente y sin entrar a detalles de las proyecciones, podemos decir que a partir de esos estudios se demostró que las paralelas no pueden mantenerse infinitamente separadas y en un Espacio Euclidiano se tendrían que juntar en el infinito, o también llamado "punto impropio".

Esta es una idea rara y nada intuitiva, es tan rara como pensar que la tierra es una esfera, cuando lo intuitivo es pensar que es plana. Si se fijan nuestra intuición nos dice que la superficie terrestre es como una hoja de papel, cuando en realidad se parece más a la cáscara de una naranja. Si la suponemos plana y medimos nuestros terrenos como si estuviesen sobre un plano, es solo porque percibimos una muy pequeña parte del total. Algo parecido le pasó a Euclides, que consideraba el espacio como un gigantesco cubo que se podía cortar en infinitos planos, solo en un espacio así (un Espacio Euclidiano) pueden existir dos rectas paralelas que nunca se cortan.

Pero hay muchas otras formas posibles para el espacio y, aunque no sea la más intuitiva, una forma moy lógica debería ser una esfera. En una esfera, el equivalente a las líneas rectas son las geodésicas o círculos máximos y todas las geodésicas se juntan, por ejemplo en los polos de la tierra. Cuando Einstein desarrolló la Teoría Genral de la Relatividad. que es una teoría sobre l geometría del espacio-tiempo, el Espacio Euclidiano y sus matemátics ya no le sirvieron, tuvo que recurrir a la geometría de Riemman y conseguir ayudantes matemáticos para aprender sus complicaciones.

En un espacio plano se pueden trazar líneas rectas, en un espacio esférico (o "curvo" para hablar más generalmente) el equivalente de la recta es la geodésica o círculo máximo de la esfera, una esfera contiene infinitas gedésicas tal como un plano contiene infinitas rectas. Si se fijan, en la geometría moderna (o diferencial), las fronteras o bordes adquieren gran importancia y las curvas se definen por si mismas, sin necesidad de los ejes x, y, z del sistema cartesiano, que dejaba todo restringido a espacios de forma cúbica.

Pero me estoy yendo por las ramas -para variar- lo importante y que quería comentar es que Euclides es el verdadero Padre Fundador de las Matemáticas, sin haber inventado ni un solo teorema el mismo, inventó sin embargo los sistemas formales, es decir inventó la verdadera matemática. Antes de Euclides, las matemáticas eran una colección de cálculos misteriosos, oscuros, desconectados. Pitagoras consideraba a los números como una religión y existe la leyenda que Hipaso de Metponto, a quien se le atribuye el descubrimiento de los números irracionales, fue asesinado por esa causa. Euclides convirtió a las matemáticas en lo que son hasta hoy: un sistema, un lenguaje basado estrictamente en el raciocinio lógico y por eso pretendía ser perfecto y eterno.

Todo empezó con un malestar, un descontento hacia la intuición y el "sentido común" que nos llevaba a formarnos ideas erróneas. Tal como nuestro cerebro puede ser engañado por las ilusiones ópticas, también la intuiciòn puede llevarnos a engaños y error, por eso Euclides, un enamorado del raciocinio lógico, inventó los sistemas formales (o axiomáticos) para "encontrar la verdad". Sn embargo su propia intuición le jugó una mala pasada con el postulado 5, que él consideró "verdad evidente" y no era otra cosa que un prejuicio.

Los Elementos es uno de los libros más naravillosos que se han escrito, podemos aprender de él en muchos sentidos, especialmente podemos aprender que el pensamiento matemático está compuesto por intuición y razón al mismo tiempo, ambas juegan en contra pero también ambas partes son tremendamente valiosas. Es un libro tan bueno que hasta de sus errores se aprende mucho.