Tomas Bradanovic

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La intuición en matemáticas

miércoles, 13 de junio de 2018

"Intuición es la facultad de comprender las cosas al instante, sin necesidad de realizar complejos razonamientos"

La intuición es una herramienta funamental para adquirir conocimiento, en todos los campos pero especialmente en ciencias y matemáticas, la importancia de la intuición es que nos permite construir hipótesis, que es como se inicia cualquier clase de conocimiento.Según leo en nuestra amiga Wikipedia:

"El término hipótesis está formado por dos palabras de origen griego: hipo, que significa subordinación o por debajo y tesis, conclusión que se mantiene con razonamiento, con lo cual podemos decir que la hipótesis sería "lo que se pone en la base."

En el pensamiento humano existen varios de estos opuestos que se ccomplementan, por ejemplo el conocimiento inductivo que generaliza experiencias particulares, versus el deductivo, que extrae reglas particulares a partir de leyes generales. En este caso la intuición actúa contra el raciocinio lógico, todos nuestros mecanismos mentales de defensa, que son racionale, reaccionan para reprimir la intuición y las corazonadas.

Los que tienden al pensamiento determinista dicen que "la suerte no existe, se la fabrica uno mismo con sus decisiones", mientras que los intuitivos pensamos que es evidente que la suerte existe y nuestras decisiones racionales solo pueden afectar -a veces- una pequeña parte de lo que nos ocurre. Estas dos formas de pensamiento vienen desde los tiempos más antiguos y cada una se ha ido poniendo de moda para luego desprestigiarse en ciclos más o menos regulares.

En Grecia antigua la admiración por el raciocinio era enorme, en la Edad Media esto cambió al misticismo religioso, una forma de pensar muy intuitiva. En el Renacimiento se redescubrió el pensamiento Griego y el predominio de lo racional llegó a su apogeo en el Siglo 18 con el iluminismo. Los resultados de esto fueron el apogeo de la ciencia, la tecnología y la Revolución Industrial. Ahora la propia ciencia y tecnología están trayendo de vuelta la valoración de lo intuitivo, porque las máquinas están reemplazando de manera creciente a las personas en tareas que requieren raciocinio.

Cada vez se necesitan menos habilidades que antes eran indispensables y distintivas de las "personas inteligentes", por ejemplo la habilidad para hacer cálculos mentales con rapidez, que era fundamental en matemáticas cuando yo empecé a estudiar electrónica, hoy es solo una curiosidad inútil por el efecto de las calculadoras y computadores. La habilidad para juegos que siempre se creyeron exclusivos de la mente humana, como el ajedrez, ya va siendo reemplazada por computadores y programas.

Hoy existe el álgebra computacional que permite hacer muchas operaciones de cálculo simbólico, con las que nos rompen la cabeza en las clases y pruebas de matemáticas, usando calculadoras o computadores e incluso la demostración automática de teoremas está bien desarrollada. Los que estudiamos matemáticas antes de las calculadoras y computadores, deberíamos ver con reverencia a los antiguos ingenieros, sin embargo muchas de esas capacidades de memoria y raciocinio se están haciendo obsoletas. Incluso en el año 2012 ya se comentaba en revistas especializadas que la enseñanza de matemáticas en ingeniería electrónica se estáva haciendo irrelevante.

Un caso célebre de intuición en matemáticas lo conocí gracias a mi buen amigo Tito Torres, es el del matemático hindú Srinivasa Ramanujan, autodidacta que " hizo contribuciones extraordinarias al análisis matemático, la teoría de números, las series y las fracciones continuas. Ramanujan desarrolló inicialmente su propia investigación matemática en forma aislada", formuló de manera independiente casi 3.000 conjeturas -algunos eran teoremas que ya existían, pero él los formuló por su cuenta sin conocerlos. Lo malo es que todas eran conjeturas, ninguna estaba probada.

Una conjetura matemática es un teorema que no está demostrado, pero que al probarlo con cientos, o miles, de valores, siempre permanece válido. Mientras no se haga una deducción formal que demuestre lógicamente que es verdadero para todos los valores, por ejemplo uno podría conjeturar que existen infinitos números primos, porque siempre se encuentran nuevos, pero hasta que Euclides lo demostró por inducción matemática y reducción al absurdo -probó que si fuesen finitos se produciría una contradicción- solo en ese momento la conjetura pasó a ser un teorema.

La cosa es que Ramanujan afirmaba que una diosa personal le dictaba los teoremas y con los años, otros matemáticos dueron encontrando que casi cada uno de ellos era verdadero, elaborando la demostración correspondiente. Aquí surgen dos preguntas (i) ¿como diablos lo hizo? y (ii) ¿quien tiene más mérito, Ramadujan que formuló las conjeturas o los matemáticos que las demostraron?

Esta pregunta es muy relevante, en épocas donde se admira más el raciocinio lógico -en Grecia antigua o en el Siglo de las Luces por ejemplo, el mérito sería para los que encontraron la demostración, porque ellos serían los verdaderos creadores de conocimiento válido. De hecho, Ramanujan siempre fue considerado como una especie de payaso o rareza por algunos matemáticos afectos a la lógica y el raciocimio.Sin embargo fue el, con cu cupuesta diosa que le dictaba los teoremas, el verdadero creador del conocimiento, los que lo demostraron solo hicieron un trabajo de verificación y validación lógica, necesario pero puramente mecánico.

¿Como obtenía Ramanujan sus conjeturas? Nadie lo sabe

Cuando se le preguntó (al matemático Hardy, su mentor en Cambrigde) sobre los métodos empleados por Ramanujan para llegar a sus soluciones, Hardy dijo que "llegaban a través de un proceso de argumentación mezclada, de intuición y de inducción, de la que fue enteramente incapaz de dar ninguna explicación coherente."​ También declaró que "nunca conoció a su igual, y se le podía comparar únicamente con Euler o Jacobi."

Es característico que los intuitivos no sean capaces de explicar como llegan a sus conclusiones, también es característico que las intuiciones se equivoquen, pero cuando aciertan es realmente "el alma que nos habla", un buen contraejemplo  para el intuitivo Ramanujan es Grigori Perelman, el huraño matemático que vive en San Petersburgo y se considera actualmente "el hombre más inteligente del mundo" con un C.I. de 238 puntos.

Perelman es famoso, entre otras cosas, por haber probado la Conjetura de Poincaré, uno de los seis Problemas Matemáticos del Milenio, el Clay Institute of Mathematics le otorgó el premio de un millón de dólares, pero él se negó a recibirlo, ni siquiera quiso ir a aceptar el diploma, contando que no solo demostró la conjetura sino que du demostración fue todavía más general, porque también abarcaba la conjetura de geometrización de Thurston. Perelman es el ejemplo perfecto de la rcionalidad extrema, aunque dice de si mismo

“No quiero estar expuesto como un animal en el zoológico. No soy un héroe de las matemáticas. Ni siquiera soy tan exitoso. Por eso no quiero que todo el mundo me esté mirando”

En un mundo donde el raciocinio lógico va siendo reemplazado con ventaja por las computadoras y donde la intuición sigue siendo una cualidad escasa, misteriosa y exclusivamente humana, en la educación se continúa enseñando con el paradigma antiguo, reforzando la memoria y la lógica ¿cuantos genios intuitivos se perderán cada año gracias a una educación formal inútil y obsoleta?.

8 Comments:

Anonymous Wilson said...

Kahneman los llama sistema 1: intuitivo, rapido y sistema 2: lento racional en su libraco Pensar rapido,pensar despacio. http://www.terceracultura.net/tc/daniel-kahneman-pensamiento-rapido-y-lento/
Permiso para presumir: yo las llamaba inteligencia analitica, yo era bueno en en eso (ya me resulta pesadito eso, la edad amiguitos,,,) e inteligencia en mozaico, la que me anda mejor ahora. Pero claro, Kahneman es mas clarito. :-)

12 de junio de 2018, 21:23

 
Blogger Rodrigo L. said...

EL Hombre que conocia el infinito (Su Pelicula esta/ba en Netflix), siempre me han maravillado los matematicos, no logro comprender ni un grano de arena como existen ese tipo de mentes.

12 de junio de 2018, 21:37

 
Blogger Tomas Bradanovic said...

Wilson, me voy a ver el libro enseguida, grax. Creo que para ser analítico se necesita una gran capacidad de concentración y necesariamente el conocimiento es menos creativo, igual las dos se complementan muy bien.

Rodrigo, lo que pasa es que las matemáticas se enseñan pésimo, durante muchos años estudiando uno se puede transformar en un balazo para el álgebra y todo eso, pero no entiendes ni palote lo que estás haciendo, eso me pasó a mí durante toda la enseñanxza básica y media, jamás pude entender lo que estaba haciendo, mucho menos para qué ni de qué se trataba la maldita cosa

12 de junio de 2018, 23:13

 
Anonymous Anónimo said...

Notable el caso de Ramanujan. Totalmente autodidacta y además despreciado por ser hindú. Le costó muchísimo llegar a los círculos ilustrados y, cuando lo hizo, pasó lo que cuentas.
Pienso que lo intuitivo y lo formal se complementan. Puedes hacer una conjetura como las de Ramanujan, y es un excelente inicio de algo que puede ser grandioso, pero en matemática no sirve de nada mientras no estés seguro de que realmente se cumple siempre, y para eso se necesitan las demostraciones formales. Es una razón por la que las "demostraciones numéricas" hechas con computadores no se consideran válidas, porque por muy lejos que lleguen, siempre puede aparecer algún valor para el que la regla no se cumpla.

Por otra parte (y eso también es parte de lo intuitivo), uno sabe que, una vez testeada una buena cantidad de números, es casi seguro que la conjetura es cierta.

Sobre la educación, recuerdo que cuando la vendía de profe trataba de inculcarle a mis alumnos que los datos y ecuaciones tenían que servir para algo, tenían un sentido. Así, por ejemplo, les hacía los típicos problemas estilo "la edad de una persona es el doble de..." pero, en lugar de pedirles calcular la edad, la pregunta era, por ejemplo, "indique si la persona puede tener licencia de conducir".

En más del 90% de los casos, el desarrollo terminaba en (por ejemplo) "x = 5", bien enmarcadito, pero sin responder la pregunta...

Saludos,
El triministro.

13 de junio de 2018, 08:23

 
Anonymous Anónimo said...

Recuerdo una programa de Cristian Warnken, Una belleza de pensar o alguna de sus variantes, entrevistaba a un profesor de matemática avanzada que residía en ¿Valdivia?.

Señalaba que para el las matemáticas eran horribles, y tenia serias problemas para comprenderlas, hasta que un compañero de curso que era brillante, lo ayudo....y su manera de enseñar, era tal que no solo entendió las matemáticas , si no que llego a amarlas.....

Comprendio que la enseñanza de las matemáticas y sus malos resultados....esta en estrecha relación de como el profesor presenta sus clases a sus alumnos

Marcelo

Pd. Estoy buscando el dichoso programa y no lo encuentro

13 de junio de 2018, 09:45

 
Blogger Tomas Bradanovic said...

Triministro ¡claro que se complementan! son partes de un todo como la inducción y deducción, lo que pasa es que con el avance de la computación -creo yo- el pensamiento lógico-deductivo y sus habilidades están perdiendo importancia aceleradamente. Yo fui ayudante de métodos numéricos en la U y recuerdo que me costaba mucho aceptarlos por lo mismo que tu dices, nadie puede decir si en iteraciones los suficientemente largas la convergencia se irá al diablo, pero funcionan en el mismo sentido que funciona la ciencia con verdades provisorias.

En todo caso las matemáticas hace rato que dejaron de ser una "ciencia" y de buscar "verdades", hoy son más que nada un instrumento para ayudar a la ciencia y tecnología. Toda creación matemática es solo imaginaria y no tienen ningún valor de verdad, solo consistencia dentro de las reglas en que el sistema fue definido.

Enseñar matemáticas es un cacho, especialmente en estos tiempos en que -a mi modo de ver- muchas destrezas matemáticas van quedando tan poco útiles como saber código Morse.

Marcelo, tal vez es Claudio Teitelboin (o Bunster como se llama ahora, el que es tartamudo) o Eric Goles, efectivamente la matemática se enseña muy mal, pero hasta hace pocos años era indispensable entrenar duro en cosas muy áridas como la habilidad de cálculo por ejemplo. Todavía se enseñan muchas cosas que ya deberían ir dejándose de lado creo yo

13 de junio de 2018, 16:52

 
Blogger Ulschmidt said...

La intuición es como un sentido estético. Imaginar un arreglo final para un asunto sin saber cómo se llega a eso por pasos intermedios razonados.
La mente humana resuelve complicadísimas cosas sin auxilio de la lógica y la matemática formal - estimar cómo manejar un auto, frenar y acelerar, es un ajuste que hecho por sistema de control lleva matemáticas a granel. Quizás el matemático intuitivo encuentra uno de esos caminos en su red mental, pero no puede conciliarlos con su ciencia formal.
Ya lo debo haber contado acá, pero Navier, el ingeniero francés que escribió las ecuaciones fundamentales de la mecánica de fluídos, las puso así por intuición. Cuarenta años después un matemático escocés llamado Stokes demostró el camino correctamente, que llegaba al mismo lugar, pero ahora justificado. Por eso se llaman ecuaciones de Navier-Stokes.

14 de junio de 2018, 09:12

 
Blogger Tomas Bradanovic said...

Claro Ulschmidt, la intuición tiene harto que ver con la estética porque muchas veces se basa en simetrías y analogías muy poco claras. La maypría de los problemas difíciles que recuerdo yo los atacaba con simetría, analogía y "tufo".

Unode los problemas del milenio del Instituto Clay, si no me equivoco, es demostrar que las ecuaciones de Navier-Stockes tienen solución analítica y que esa solución es única: un millón de dólares para el que lo demuestre

17 de junio de 2018, 03:29

 

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