Llevo tres videos sobre un tema que no tienen nada de complicado, que es el cálculo, pero si tiene muchos detalles importantes para alguien que quiera entenderlo bien. Primero hay que hacer una buena aproximación a lo que son las funciones, algo que se enseña muy superficialmente en los cursos normales, luego los cuatro problemas -aparentemente desconectados entre si- que eran:
-La tangente de cualquier curva
-El máximo o mínimo de cualquier función
-El largo de cualquier curva, su área bajo ella y el volúmen de un sólido
-La velocidad instantánea en un punto y la aceleración
Todos estos problemas tienen que ver con la no-linealidad, es decir cosas que no se pueden modelar con líneas rectas o con ecuaciones de primer grado, si el mundo estuviese hecho de líneas rectas, triángulos y rectángulos ¡todo sería tan sencillo! Las propiedades de una línea recta son extraordinarias, a las curvas en cambio no hay como acercarse.
Dicen que el cálculo costó tanto de desarrollarse por un problema ideológico, los antiguos griegos tenían todas las ideas fundamentales, el propio Arquimides tenía claro que para tratar una superficie no recta, la única forma posible era dividirla en muchísimas superficies rectangulares o triangulares sumamente pequeñas, pero eso daba siempre una respuesta aproximada, o sea impura, sucia, que según las ideas de Platon no podía aceptarse: las soluciones matemáticas debían ser perfectas no solo en la práctica sino también en teoría.
Se parece un poco a la diferencia de pensamiento entre deterministas e indeterministas en la física, Einstein sería una especie de Platon y Bohr una especie de Liebnitz, diciendo que la armónica perfección del raciocinio no era el único camino posible.
Al final del día, el cálculo infinitesimal es un método de linealización de cosas que no son lineales. Para calcular la velocidad de cambio en una recta simplemente calculamos su pendiente, mientras más inclinada más rápido, pero con una curva, que tiene infinitos puntos no-alineados, la velocidad en un punto solo puede ser la tangente que toque en un solo punto a esa curva. El problema es que si es una tangente ¡no se puede calcular la pendiente!
A cualquiera que sea capaz de pensar un rato, le molesta -filosóficamente- la definición de la derivada
Para que hablar de la integral definida:
El cálculo diferencial e integral es muy sencillo y su única dificultad es algebraíca, es decir mecánica. Cuando pasa a cálculo vectorial ahí se complican los conceptos pero el cálculo normal, sobre polinomios, se puede comprender en 10 o 15 minutos, de hecho yo hice una parte del video llamada "aprenda cálculo en 10 minutos" donde se enseña a derivar e integrar polinomios. No cuesta nada, pero en la universidad pasan todo un año enredándonos con problemas artificiosos e inútiles, sin ningún destino, en el curso de Cálculo 1.
Pero el cálculo tiene algunas piruetas intelectuales que son geniales y muy contra-intuitivas, como el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, que dice (resumiendo) que las integrales son anti-derivadas ¿como se les ocurrió esto a Gregory y Barrow? Fue un golpe de genialidad, bueno, por algo Barrow fue el profesor de Newton, y de pasada inventó la pirotecnia algebráica más espectacular, como es el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo o Regla de Barrow, que dice que la solución de una integral definida (o sea el área bajo la curva) es la resta de las integrales indefinidas evaluadas en los extremos.
Si un estudiante de matemáticas o ingeniería no se emociona con los dos teoremas fundamentales del cálculo y no piensa ¡WOW, RECORCHOLIS! al leerlos, es mejor que deje de estudiar enseguida y se dedique a cultivar papas, las matemáticas no son lo suyo. Total, igual podría hacer como Bachelet y mentir, atribuyéndose una profesión que no tiene.
El análisis es lo que más me gustó, o lo que mejor entendí siempre, de las matemáticas. La Regla de Barrow lo único que puedo escribir de memoria sin el menor esfuerzo.
ResponderBorrarLa naturaleza dinámica de todo los que nos rodea se escribe en clave de análisis matemático, el cambio de las cosas con el tiempo. Para mí es el lenguaje más poderoso para describir la Naturaleza.
Los dos teoremas del cálculo son maravillosos ¿como se les pudo ocurrir que las derivadas e integrales estaban relacionadas? , la Regla de Barrow es magia pura y es consecuecia del primer teorema (que las integrales son anti-derivadas).
ResponderBorrarEso de la dinámica del análisis matemático es muy cierto ¡son matemáticas en movimiento! Claro que a mi me gusta la estática jaja es má fácil de tragar, viviría feliz en un universo con puros rectángulos y triángulos.
La idea de límites siempre me ha costado aceptarla, cuando veo una función asintótica, que cada vez se acerca más pero no puede llegar nunca, me da el mismo vértigo que cuando me asomo a la ventana abierta de un edificio jaja, es tema para pesadillas!
Según mi nieto veinteañero, Israel Aguirre Villa:
ResponderBorrar"Antes del calculo infinitesimal, existían métodos para calcular areas de funciones, bastante arcaicos y engorrosos, pero existían. El teorema fundamental del álgebra, para mi es mucho mas apasionante que el del calculo, no es que solo nos hace saber que toda ecuación de grado n tiene n soluciones, tiene un significado mucho mas trascendente y profundo en la comprensión de estructuras algebraicas, nos relaciona la naturaleza del conjunto de los imaginarios (que no tienen nada de imaginarios) con los reales, los de son de toda la vida. Si tuviésemos mas teoremas como este, sobre como se vinculan los estos conjuntos quizás, se demuestre la hipotesis de Riemann y entender asi, un rincón muy intimo del universo, la distribución de los primos".
Para mí, todo eso es chino arcaico o más complejo aún.
Cordiales saludos...
Es cierto doctor, antes de la Regla de Barrow, usaban por ejemplola Suma de Riemman, conozco solo la fórmula pero nunca he visto un cálculo de esos, probablemente habían otros métodos todavía más engorrosos.
ResponderBorrarEl Teprema fundamental del Álgebra (todo polinomio de coeficientes complejos tiene raiz compleja)es genial, pero su comprención es mucho más difícil, la demostración que a mi me pasaron era una pesadilla, solo por eso lo recuerdo y que las raíces son las mismas que el grado del polinomio.
Saludos a Israel, se nota que está recibiendo una formación matemática de primero, no solo la absurda "máquina solucionadora de problemas" que habitualmente enseñan los profes flojos.
Los números imaginarios tal vez son los únicos que merecen llamarse "reales", los demás son todos bamba
Quise decir complejos, ah diablos...
ResponderBorrarY sería una tragedia mundial si se llega a conocer algún día la distribución de los números primos!!! Mi PGP, los archivos encriptados con Truecript, y todo lo encriptado con RSA donde guardo mis petabytes de material porno quedarían expuestos!!!
ResponderBorrarMas respeto con las paperos, si no preguntales a los irlandeses y su millon de muertos por una enfermedad que no supieron controlar :-)
ResponderBorrar¡Hombre! yo no tengo nada contra la siempra de papas, de hecho yo mismo sembraba en el enorme patio de mi casa en Quellón (1 saco daba como 10!), puse "que se dedique a sembrar papas" tal como podrí haber puesto "que se dediue a tocar el violín", o sea, que se dedique a otra cosa
ResponderBorrarSería interesante que en paralelo a los cursos duros se enseñará historia de la ciencia y las motivaciones de cada avance. A veces hay profesores que lo intentan pero el tiempo escaso va contra la idea. Tampoco hay que exagerar como un profesor que tuve de termodinámica en que aprendimos toda la vida de Lord Kelvin pero nada de los temas del curso.
ResponderBorrarBuena idea ¡podría ser como el Baradit de la ciencia, jaja!
ResponderBorrarEl físico Dirac cuando desarrolló la cromodinámica cuántica (o algoa así..) se jactaba de que había explicado "toda la química". En sus verdaderos fundamentos, había explicado la causa profunda de enlaces y reacciones entre moléculas.
ResponderBorrarPero es tan complejo su sistema que ni siquiera ahora se usa en química práctica.
Si le dices a unos chicos que Newton estaba equivocado y que a velocidades cercanas a la luz sus ecuaciones son muy erradas y deben ser corregidas por Einstein... no van a aprender ni la mecánica clásica.
En cada aprendizaje, de cada educando, hay que pasar por las mismas etapas que pasó la Humanidad en miles de años hasta llegar a la ciencia moderna. Hacer un planteo simple, con los elementos a simple vista, y contar las primeras soluciones que el hombre encontró para la química, física, etc...
Mostrarle un dibujito del sistema planetario del átomo a un pibe, y decirle que eso es lo que se enlaza con otros similares para hacer sustancias quimicas... no lo aproxima más a la realidad. Más bien se la pone inalcanzable. Hablarle de ácidos y bases y álcalis es más razonable.
La Historia de la Ciencia debería ser un acompañamiento de esa reproducción de los descubrimientos históricos. Darle más sentido, para llegar a los saberes actuales algunos de los cuales son totalmente contra-intuitivos.
A propósito, dicen que Gauss se concentraba tanto en sus teoremas que mientras estaba sobre uno de ellos y le vinieron a avisar que su segunda esposa estaba por morir contestó "Dígale que me espere un ratito"
Claro que si Ulschmidt, sin historia nada tiene sentido y es una brutalidad aprender cálculo sin conocer la historia que hubo detrás. El asunto de los límites -que a mi jamas me ha convencido- era todavía peor en los tiempos de Newton, porque este trató de explicar lo inexplicable con las "fluxiones", un concepto rarísimo, que fue parte importante de su pelea a muerte con Liebnitz, hay un artículo bien entretenido en
ResponderBorrarhttp://institucional.us.es/revistas/themata/42/06%20montesinos%20sierra.pdf
La historia del cálculo está llena de chascarros, por ejemplo Newton era profundamente religioso y, para la nefasta Revolución Francesa, se convirtió en un Dios de los jacobinos y socialistas, que lo presentaban como el que había matado a la religión con su ciencia ¡se fundó la religión newtoniana! con ritos, sacerdotes y todo eso, fue la culminación del absurdo "Siglo de las Luces", creo que tendré que escribir alguna entrada contra Francia un día de estos.
Recuerdo a mi querido profesor de estadísticas don Erich Glass, que jamás osó decir el nombre de Gauss sin agregarle el título de "el Príncipe de las Matemáticas", si decía diez veces el nombre de Gauss, las diez veces agregaba en su media lengua "el prrrrincipe de...". entrañable profesor, con un genio de los mil demonios.
Hablando de chantas Baradit y el pedófilo ese del movil me bloquearon. Creo que voy por el buen camino.
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