Viernes musicales: las matemáticas de las 12 notas

Y así dicen que no hay gente buena en este mundo. Miren como Emily me ofrece su generosa ayuda, si me deposita 500 dólares prometo que no la reporto como estafadora. Lo prometo. En fin, mejor pongámonos serios, que ya tengo bastantes calamidades para pensar en tonteras.

En casi todas las artes se puede asimilar lo que se considera "bello" a alguna explicación matemática, como por ejemplo la "Relación Aurea" representada por el número irracional 1.618... que está presente en tantas pinturas y esculturas clásicas, también en innumerables formas de la naturaleza como la disposición de los pétalos de las flores; la distancia entre el ombligo y la planta de los pies de una persona, respecto a su altura total; las caracolas y casi todas las formas espirales naturales, etc. etc.

Sin embargo en la música es donde esta relación es extraordinariamente fuerte, se podría decir que la música es el arte que mejor puede ser asimilado a modelos matemáticos. Pitagoras fue el primero en dejarlo por escrito, pero supongo que se debe haber sabido desde antes, cuando declaró que los tonos musicales están relacionados con el largo de una cuerda que vibra. Si acortamos la cuerda a la mitad, la cuarta parte o si duplicamos o triplicamos su largo, obtendremos un sonido muy parecido, aunque obviamente será más grave si la cuerda es más larga o agudo si se acorta. Ese fue el primer descubrimiento fundamental: los tonos se repiten y a esa repetición se le llama "octavas", ya veremos por qué.

 Como las octavas suenan tan parecidas no sirven mucho para hacer música, son aburridas, entonces podemos acortar la cuerda en proporcione que no sean la mitad, por ejemplo si la acortamos en 2/3 obtenemos un sonido que suena muy agradable cuando se toca junto con la cuerda de longitud total (la fundamental), ese tono o nota que obtenemos se llama "la quinta" y junto con la fundamental forman la base de toda la armonía occidental ¿por qué? Porque producen los sonidos más bellos que existen en combinación.

La explicación de esa belleza del sonido 1-5, es física y se basa en otra de las maravillas fundamentales de la música que son las "armónicas". Resulta que cuando hacemos vibrar una cuerda, física, no solo se genera el tono fundamental, lo que escuchamos es una combinación de infinitos tonos (bueno, solo escuchamos algunos) porque las ondas de la cuerda rebotan en los extremos. Así si nuestra cuerda produce por ejemplo la nota "Do" no será un Do puro como podríamos generar con un aparato electrónico o con un pito, que casi no produce armónicas, sino que son infinitos Do de todas las octavas superiores e inferiores, pero cada uno con diferente volumen. Escuchamos la suma o combinación de muchos "Do" de distinto volumen

"De distinto volumen" es lo importante aquí, cada instrumento tiene distinta caja de resonancia y produce distintas combinaciones de volúmenes, entonces podemos tocas "Do" en un piano, un violín, una flauta, cantado por un tenor o por un baritono, será la misma nota, pero cada una tendrá una característica distintiva que es su "timbre". El timbre es lo que nos hace distinguir un instrumento de otro, Aunque estén tocando exactamente la misma nota podemos diferenciar fácilmente un piano de un violín o una flauta.

Y aquí hay algo muy interesante, porque en la voz humana de un cantante, el instrumento es su propio cuerpo, desde el fondo de los pulmones a la boca y por eso lo más valioso y único que tiene un buen cantante es su timbre, no existen dos personas con igual timbre y eso es lo que hace que los aficionados a la ópera, por ejemplo, sean tan fanáticamente apasionados por un cantante u otro. Las demás características como afinación, modulación, tempo, etc. son cosas técnicas que se pueden aprender, pero el timbre es algo precioso con lo que el cantante nace. El brillo y el timbre metálico, por ejemplo, nos permiten distinguir casi sin entrenamiento cuando es Pavarotti el que está cantando,

El timbre es también lo mas distintivo y precioso de los instrumentos y nos permite distinguir entre un violín Stradivarius y otro común y corriente o entre un piano Steinway Grand y el sonido de piano de mi teclado Yamaha. El timbre es tal vez la parte del sonido que nos afecta más directamente  las emociones.

Bueno, ya vimos que el intervalo musical 1-5 es el fundamental y el que mejor suena, pero no hay uno solo, para cada una de las siete notas de la octava (la Nº 8 es la fundamental repetida más arriba) existe su "quinta justa", hay una quinta para el Re, Mi, Fa... etc.

Donde mejor podemos ver estas relaciones es en el teclado de un piano, por eso el piano es ideal para aprender teoría musical, "vemos" las notas en las teclas. Y lo que podemos ver es que no solo tenemos dos teclas, la fundamental y su quinta, sino que entre octava y octava tenemos exactamente 12 teclas, 12 notas que son 7 telas blancas y 5 teclas negras. Las teclas negras están en un grupo de dos y luego de tres, como podemos ver en un teclado

¿Por qué existen las malditas teclas negras que enredan todo? La explicación es física: un semitono es el mínimo cambio que nuestros oídos pueden detectar, entonces entre una tecla y la siguiente (incluyendo las negras) existe un semitono, las teclas negras se llaman "alteraciones" y como si no fuera bastante el enredo que agregan cada tecla negra tiene dos nombres: la negra que sigue al Do se puede llamar "Do sostenido" o "Re bemol", da lo mismo ¿a quien se le habrá ocurrido semejante estupidez?

Tenemos que entre el Do y su quinta, el Sol, existen 7 semitonos y así se pueden obtener quintas para cada una de las demás notas, por ejemplo la quinta de Re es (contando las 7 teclas) La, la quinta de La es Mi, etc. Así es como se construye el famoso "Círculo de quintas"

Todo son proporciones a partir de una cuerda estirada que se aorta en mitades y en 2/3, a partir de esto podemos descubrir que dentro de una octava existen 12 notas 7 blancas y 5 negras o "alteraciones", esa es la famosa "Escala Cromática"

Antes ya he escrito por acá miso sobre los acordes o triadas, que en su forma básica se componen de tres notas con intervalos 1-3-5, por ejemplo Do-Mi-Sol, el intervalo 3 es el que determina si el acorde es mayor (brillante) o menor (oscuro), por ejemplo el acorde en Do mayor es Do-Mi-Sol y el acorde de Do menor es Do-Mi bemol-Sol, bajamos la tercera en un semitono.

También he escrito antes sobre las secuencias de acordes o cadencias, toda la música sigue secuencias de acordes, en la música popular es muy fácil identificarlos porque son el "acompañamiento" que tocamos con la mano izquierda, o bien lo que toca el bajo en un conjunto, las cadencias en música popular son muy simples y hay miles de canciones que llevan la misma cadencia sencilla de acompañamientos, por ejemplo la 1-4-5 está presente en todas las canciones de rock, blues, baladas y muchas más, o sea solo sabindo tocar los acordes Do, Mi, Sol se pueden acompañar miles de cancionaes, otra secuencia famosa y sumamente usada en las baladas es esa misma pero con algnos adornos 1-6-2-5 por ejemplo Do, La, Re, Sol a la que a veces se le agrega el 4, Fa y queda una cadencia bastante perfecta que también sirve para acompañar miles de canciones. Los cinco acordes de esta cadencia tienen la característica que en conjunto, usan todas las teclas blancas, solo las blancas y por eso, como acompañamiento, nunca "chocan" con melodías que usan solo teclas blancas., es una cadencia ideal para probar improvisaciones sencillas

Bueno, yo he escrito de esto mismo antes y esto pareciera ser un refrito, pero resulta que se me ocurrió un idea o intuición nueva de todo esto, sobre la naturaleza de las matemáticas. Resulta que los griegos, admirados de su propio pensamiento, llegaron a pensar que las matemáticas tenían cierto "valor de verdad", Pitagoras llegó a pensar que eran una especie de ciencia divina y hasta hizo una religión en torno a eso. Incluso tipos tan geniales como Galleo, siglos después, llegaron a escribir "Dios escribió el libro de la naturaleza en lenguaje matemático" o algo por el estilo.

Con el paso de los años y la acumulación de conocimientos, la visión actual de las matemáticas se ha hecho bastante más humilde, especialmente a partir del Siglo 19, más o menos, cuando el rascacielos intelectual de Los Elemento de Euclides, empezó a mostrar grietas y terminó en que si bien no era totalmente inconsistente, tampoco eran verdades absolutas ni mucho menos y se sostenían sobre ideas bastante ingenuas. Creo que Goedel fue el que demostró´que no podían existir sistemas matemáticos totalmente consistentes, es decir "verdaderos".

Entonces las matemáticas volvieron a ocupa un lugar más humilde, como herramientas para modelar, lenguaje para simular y cosas así, herramientas increíblemente útiles, pero también totalmente imaginarias, hasta cierto punto arbitrarias, tal como las ciencia naturales a las que ha prestado tantos y tan valiosos servicios.

Inclusive se empezó a hablar abiertamente del mal uso de las matemáticas, especialmente el modelamiento y las estadísticas, que funcionan sumamente bien con los fenómenos físicos simples de las ciencia naturales, pero en las ciencias sociales como economía y psicología normalmente son un desastre y se prestan para toda clase de manipulaciones. 

Sin embargo, la apreciación musical es un fenómeno sumamente humano, psicológico y complicado, el hecho que pueda ser modelado matemáticamente con el simple estudio de las proporciones e intervalos, que incluso permite que con software computacional se puedan componer bellísima música, resulta, creo yo algo muy extraño e interesante.

La música es algo sumamente intuitivo de apreciar, hasta los bebes y los monos pueden distinguir sonidos armoniosos y disfrutarlos. Mi gato Marat-Sade (Q.E.P.D.) se echaba al lado mio cuando me ponía a aporrear el teclado y creo que algo le gustaba. Bueno, la cosa es que eso me parece algo muy extraño. No hay modelos matemáticos ara entender la pintura, la escultura o el cine como si existen para la música y creo que es uno de los aspectos más intrigantes de las matemáticas, o del comportamiento humano, quien sabe.