El maravilloso mundo de las matrices

Estaba escribiendo mi entrada sobre otra cosa, pero me topé con el video Vectores y valores propios, qué significa y cómo se calcula, de Javier García del Instituto de Física Teórica de Madrid ¡que gran video! explica de manera fácil dos cosas que nunca había entendido completamente, solo sabía "la receta". Durante muchos años tuve la idea intuitiva que las matrices eran artefactos maravillosos, pero lamentablemente en la universidad me las enseñaron como recetas de cocina, de la manera más mecánica y aburrida posible.

Se entiende que hay poco tiempo para formar a un ingeniero, y que probablemente toda su vida en el trabajo se dedicará a despachar papeles y pelear intrigas mezquinas con sus colegas, atrincherados detrás de un escritorio, encaramado en las antenas, o en el mejor de los casos diseñando un artefanto que mejore un proceso x, cosa que puede hacer -y normalmente hacen- mucho mejor los obreros que trabajan directamente con las máquinas. Si existe una profesión sobrevaluada es la de ingeniero. 

Lo que si algo es seguro que los varios años que pasamos estudiando matemáticas -profesionalmente hablando- son tan inútiles como las clases de dibujo técnico con tinta china y tiralíneas, si no para todos, al menos para el 90% de los ingenieros, o más. Además eso que las matemáticas ayudan a "pensar mejor" es una mentira del porte de un buque, he conocido excelentes matemáticos que son completos idiotas, y lo dejo hasta ahí porque tampoco se trata de andar ofendiendo.

Pero a lo que iba es a otra cosa. Las matemáticas son secas y áridas como Tocopilla, pero esconden sorpresas increíbles que cuando las conoces te maravillan, las apariencias engañan y muchas veces pasa que llegas a conocer bien a Tocopilla, o una mujer que no es muy linda a primera vista, pero le empiezas a encontrar maravillas escondidas. En cierto modo es lo que me pasó a mi con las matrices, con las mujeres y con Tocopilla, aunque la conocí apenas.

En alguna parte leí que la idea viene de los chinos antiguos, a quienes se les ocurrió ordenar cosas en filas y columnas y empezar a hacer combinaciones. Un ejemplo de matriz muy intuitivo y fácil de entender es -por ejemplo- una hoja de Excel, donde cada celda tiene información de alguna clase, los datos están arreglados en filas y columnas.

La gracia de las matrices es que son artefactos para construir modelos. Por ejemplo yo tengo muchos amigos, conocidos, etc. y esas relaciones las puedo modelar en una matriz con sus nombres, direcciones, teléfonos, la plata que me deben y cosas por el estilo, ese sería un modelo de mi grupo social. O si fuera almacenero podría tener un listado de inventario con el nombre de cada mercadería, su costo, cantidad en stock, precio de venta o lo que sea, ese sería un modelo de la mercadería que tengo. Esos modelos muy simples, almacenados en matrices. se llaman bases de datos y hay todo un cuento de como diseñarlas y lo que se puede hacer con ellas.

Esos modelos sencillos de matrices podrían llevarse un poco más allá, por ejemplo yo podría construir una matriz de los que viven en mi barrio, o mejor de toda la ciudad anotándoles para cada uno una serie de atributos, propiedades y cosas que pueden hacer. También podría establecer relaciones que existen entre ellos como quien es pariente de quien, quien es amigo de quien, quienes son vecinos, quien le pone los cuernos a quien y con quien, en fin, todas las relaciones que se nos ocurran.

Podrían haber estas matrices de relaciones para cada ciudad y podríamos usarlas para cruzar los datos. Esto es algo común que hacen las redes sociales por ejemplo, donde seguramente existen matrices con las preferencias políticas, de consumo, el poder adquisitivo, la educación y cosas por el estilo de todos los que participan en la red social, no es difícil porque nosotros mismos alimentamos esos datos voluntariamente.

Y con eso podemos fabricar modelos sociales. O al menos los que tienen esas matrices y la capacidad para analizarlas, que no es poca cosa. Es divertido y muy anacrónico que hoy en día el voto sea secreto, cuando la verdad es que es un secreto a voces ya que nuestras preferencias y opiniones políticas son públicas para la enorme mayoría de los votantes.

Y aquí no hablo de estadísticas ni nada de eso, las simples operaciones que permiten la matemática de matrices, que puede ser muy potente a la hora de sacar conclusiones a partir de cientos de miles de millones de datos distribuidos. 

Por ejemplo el vector propio y el valor propio son fundamentales en el funcionamiento del algoritmo que jerarquiza los resultados de búsqueda de Google, y esa es una operación puramente algebraíca -que se explica en el video cuyo link coloqué al principio- y permite obtener resultados de una potencia enorme sin necesidad de rozar la estadística ni cuchufletas por el estilo.

Muchas veces he soñado con matrices enormes. Los ejemplos de bases de datos simples son solo la superficie del maravilloso mundo de las matrices. Por ejemplo podemos modelar la forma de cualquier objeto físico como un auto, un perro o cualquier persona, simplemente tomando digitalmente millones de medidas y relacionándolas en un modelo de muchos triangulitos diminutos, para cada triángulo necesitamos solo 3 coordenadas en el espacio, o sea 3 tripletas de números (coordenadas x, y, z). Bueno, alimentamos una matriz con algunos millones de esos conjuntos de 3 coordenadas y tendremos un modelo en tres dimensiones de un auto, un perro, una persona o lo que sea.

¿Y para qué sirve eso? Bueno, si tenemos un modelo lo podemos trasladar, rotar, mover, etc. con simples operaciones de aritmética de matrices. Y así tenemos la "inteligencia artificial", que no tiene un pelo de inteligencia pero permite identificar a cada persona que es filmada en la calle, relacionándola con su perfil personal, almacenada en otro modelo como el que decía para la ciudad con los nombres, relaciones, opiniones políticas y todo lo que esa persona ha alimentado a las redes sociales. Eso es algo que la policia en China está usando a destajo hoy mismo y será cuestión de tiempo que nos llegue a nosotros. No es un riesgo sino una realidad inevitable..

Pero todo esto es solo la superficie, el perejil del pavo. La pechuga de pavo es otra cosa. Las matrices se usan para modelar los problemas más complejos de la ciencia. En física, a partir de la Teoría de la Relatividad, la Mecánica Cuántica, la Teoría Cuántica de Campos y prácticamente todo lo demás está modelado en matrices y otros artefactos llamados tensores, que son matrices enchuladas que se inventaron para simplificar la notación.

Resulta que casi todo lo que pasa en el universo se puede vectorizar, es decir modelarlo con una ubicación en el espacio y un valor de magnitud. Los vectores nos permiten modelar los campos de fuerza, que son de lo que "está hecho" todo lo que podemos conocer. Pero si solo pudiésemos hacer modelos con vectores nos volveríamos locos con la complejidad.

Entonces aparecen las matrices, que recogen todos los vectores de un sistema y los relacionan entre si creando un modelo matemático. Y así, un físico teórico no es otra cosa que un matemático que hace experimentos mentales manipulando matrices, tensores y sus propiedades. En realidad buena parte de la ciencia moderna es mucho más imaginaria y arbitraria de lo que la gente piensa, son gente jugando con las matemáticas, recombinando matrices para ver "que pasaría si...", después los del laboratorio les confirman o desmienten sus conjeturas.

En fin, las matrices me fascinan porque en cierto modo se parecen a la música, cuando aparecen ciertas simetrías que permiten ver cosas aunque no las entendamos. Es parecido a cuando escuchamos alguna sonata de Beethoven que por puro instinto nos gusta, aunque estemos a años luz de entender la complejísima teoría musical que tiene detrás. 

Bueno bueno, entre ver el famoso video y escribir esta entrada me dieron las 3 y cuarto de la madrugada. Creo que es hora de irme a mi cripta, hasta mañana amigos.