20 noviembre 2022

El maravilloso mundo de las matrices

Estaba escribiendo mi entrada sobre otra cosa, pero me topé con el video Vectores y valores propios, qué significa y cómo se calcula, de Javier García del Instituto de Física Teórica de Madrid ¡que gran video! explica de manera fácil dos cosas que nunca había entendido completamente, solo sabía "la receta". Durante muchos años tuve la idea intuitiva que las matrices eran artefactos maravillosos, pero lamentablemente en la universidad me las enseñaron como recetas de cocina, de la manera más mecánica y aburrida posible.

Se entiende que hay poco tiempo para formar a un ingeniero, y que probablemente toda su vida en el trabajo se dedicará a despachar papeles y pelear intrigas mezquinas con sus colegas, atrincherados detrás de un escritorio, encaramado en las antenas, o en el mejor de los casos diseñando un artefanto que mejore un proceso x, cosa que puede hacer -y normalmente hacen- mucho mejor los obreros que trabajan directamente con las máquinas. Si existe una profesión sobrevaluada es la de ingeniero. 

Lo que si algo es seguro que los varios años que pasamos estudiando matemáticas -profesionalmente hablando- son tan inútiles como las clases de dibujo técnico con tinta china y tiralíneas, si no para todos, al menos para el 90% de los ingenieros, o más. Además eso que las matemáticas ayudan a "pensar mejor" es una mentira del porte de un buque, he conocido excelentes matemáticos que son completos idiotas, y lo dejo hasta ahí porque tampoco se trata de andar ofendiendo.

Pero a lo que iba es a otra cosa. Las matemáticas son secas y áridas como Tocopilla, pero esconden sorpresas increíbles que cuando las conoces te maravillan, las apariencias engañan y muchas veces pasa que llegas a conocer bien a Tocopilla, o una mujer que no es muy linda a primera vista, pero le empiezas a encontrar maravillas escondidas. En cierto modo es lo que me pasó a mi con las matrices, con las mujeres y con Tocopilla, aunque la conocí apenas.

En alguna parte leí que la idea viene de los chinos antiguos, a quienes se les ocurrió ordenar cosas en filas y columnas y empezar a hacer combinaciones. Un ejemplo de matriz muy intuitivo y fácil de entender es -por ejemplo- una hoja de Excel, donde cada celda tiene información de alguna clase, los datos están arreglados en filas y columnas.

La gracia de las matrices es que son artefactos para construir modelos. Por ejemplo yo tengo muchos amigos, conocidos, etc. y esas relaciones las puedo modelar en una matriz con sus nombres, direcciones, teléfonos, la plata que me deben y cosas por el estilo, ese sería un modelo de mi grupo social. O si fuera almacenero podría tener un listado de inventario con el nombre de cada mercadería, su costo, cantidad en stock, precio de venta o lo que sea, ese sería un modelo de la mercadería que tengo. Esos modelos muy simples, almacenados en matrices. se llaman bases de datos y hay todo un cuento de como diseñarlas y lo que se puede hacer con ellas.

Esos modelos sencillos de matrices podrían llevarse un poco más allá, por ejemplo yo podría construir una matriz de los que viven en mi barrio, o mejor de toda la ciudad anotándoles para cada uno una serie de atributos, propiedades y cosas que pueden hacer. También podría establecer relaciones que existen entre ellos como quien es pariente de quien, quien es amigo de quien, quienes son vecinos, quien le pone los cuernos a quien y con quien, en fin, todas las relaciones que se nos ocurran.

Podrían haber estas matrices de relaciones para cada ciudad y podríamos usarlas para cruzar los datos. Esto es algo común que hacen las redes sociales por ejemplo, donde seguramente existen matrices con las preferencias políticas, de consumo, el poder adquisitivo, la educación y cosas por el estilo de todos los que participan en la red social, no es difícil porque nosotros mismos alimentamos esos datos voluntariamente.

Y con eso podemos fabricar modelos sociales. O al menos los que tienen esas matrices y la capacidad para analizarlas, que no es poca cosa. Es divertido y muy anacrónico que hoy en día el voto sea secreto, cuando la verdad es que es un secreto a voces ya que nuestras preferencias y opiniones políticas son públicas para la enorme mayoría de los votantes.

Y aquí no hablo de estadísticas ni nada de eso, las simples operaciones que permiten la matemática de matrices, que puede ser muy potente a la hora de sacar conclusiones a partir de cientos de miles de millones de datos distribuidos. 

Por ejemplo el vector propio y el valor propio son fundamentales en el funcionamiento del algoritmo que jerarquiza los resultados de búsqueda de Google, y esa es una operación puramente algebraíca -que se explica en el video cuyo link coloqué al principio- y permite obtener resultados de una potencia enorme sin necesidad de rozar la estadística ni cuchufletas por el estilo.

Muchas veces he soñado con matrices enormes. Los ejemplos de bases de datos simples son solo la superficie del maravilloso mundo de las matrices. Por ejemplo podemos modelar la forma de cualquier objeto físico como un auto, un perro o cualquier persona, simplemente tomando digitalmente millones de medidas y relacionándolas en un modelo de muchos triangulitos diminutos, para cada triángulo necesitamos solo 3 coordenadas en el espacio, o sea 3 tripletas de números (coordenadas x, y, z). Bueno, alimentamos una matriz con algunos millones de esos conjuntos de 3 coordenadas y tendremos un modelo en tres dimensiones de un auto, un perro, una persona o lo que sea.

¿Y para qué sirve eso? Bueno, si tenemos un modelo lo podemos trasladar, rotar, mover, etc. con simples operaciones de aritmética de matrices. Y así tenemos la "inteligencia artificial", que no tiene un pelo de inteligencia pero permite identificar a cada persona que es filmada en la calle, relacionándola con su perfil personal, almacenada en otro modelo como el que decía para la ciudad con los nombres, relaciones, opiniones políticas y todo lo que esa persona ha alimentado a las redes sociales. Eso es algo que la policia en China está usando a destajo hoy mismo y será cuestión de tiempo que nos llegue a nosotros. No es un riesgo sino una realidad inevitable..

Pero todo esto es solo la superficie, el perejil del pavo. La pechuga de pavo es otra cosa. Las matrices se usan para modelar los problemas más complejos de la ciencia. En física, a partir de la Teoría de la Relatividad, la Mecánica Cuántica, la Teoría Cuántica de Campos y prácticamente todo lo demás está modelado en matrices y otros artefactos llamados tensores, que son matrices enchuladas que se inventaron para simplificar la notación.

Resulta que casi todo lo que pasa en el universo se puede vectorizar, es decir modelarlo con una ubicación en el espacio y un valor de magnitud. Los vectores nos permiten modelar los campos de fuerza, que son de lo que "está hecho" todo lo que podemos conocer. Pero si solo pudiésemos hacer modelos con vectores nos volveríamos locos con la complejidad.

Entonces aparecen las matrices, que recogen todos los vectores de un sistema y los relacionan entre si creando un modelo matemático. Y así, un físico teórico no es otra cosa que un matemático que hace experimentos mentales manipulando matrices, tensores y sus propiedades. En realidad buena parte de la ciencia moderna es mucho más imaginaria y arbitraria de lo que la gente piensa, son gente jugando con las matemáticas, recombinando matrices para ver "que pasaría si...", después los del laboratorio les confirman o desmienten sus conjeturas.

En fin, las matrices me fascinan porque en cierto modo se parecen a la música, cuando aparecen ciertas simetrías que permiten ver cosas aunque no las entendamos. Es parecido a cuando escuchamos alguna sonata de Beethoven que por puro instinto nos gusta, aunque estemos a años luz de entender la complejísima teoría musical que tiene detrás. 

Bueno bueno, entre ver el famoso video y escribir esta entrada me dieron las 3 y cuarto de la madrugada. Creo que es hora de irme a mi cripta, hasta mañana amigos.

28 comentarios:

  1. Gracias Tomás, muy buen artículo y contiene varias verdades. En la uni solamente nos meten las matemáticas a presión en un especie de maratón gimnástica. Recuerdo como solíamos vanagloriarnos acerca de cuan rápido calculábamos lo auenos enseñaban, pero en la vida profesional, a la hora de saber cual herramienta aplicar y como aplicarla, la mayoría da la hora. Enalgunas especialidades, algunas matemáticas jamás sabremos cuando aplicarlas ( variable compleja, geometrías no euclidianas y otras) por lo cual deberían enfatizar las matemáticas según especialidad, y del resto solamente una pincelada cultural. Un abrazo

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    1. Así es, exactamente, nos perdemos de lo mejor de muchas cosas que nos enseñam, a veces solo por flojera de los profesores o porque los programas de estudio se hicieron para otro siglo, entonces terminamos entrenándonos en la parte mecánica y las recetas. Muchas matemáticas que amtes eran indispensables ahora no tienen sentido, al menos para un ingeniero, a menos que nos enseñaran el fondo cualitativo en lugar de tanta mecánica y operatoria que ahora se hace con máquinas.
      Me acuerdo perfectamente de la presión por quien termina la prueba más rápido jaja, que tontera más grande.
      Un fuerte abrazo

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    2. Dándole vuelta a lo que comentabas, pensaba que tal vez a los ingenieros les deberían enseñar las matemáticas en dos bloques separados: uno de "cultura matemática", avanzado pero fuertemente cualitativo y con muy poca operatoria. Otro bloque de "matemáticas aplicadas" que debería ser mucho menor, porque las necesidades profesionales y destrezas en operaciones cambian cada pocos años por la tecnología de las máquinas para calcular. En cambio con una fuerte cultura matemática la destreza operatoria se podría adquirir más rápido y por uno mismo

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  2. Recuerdo que resolviamos Schaum´s como malos de la cabeza, integrales, trigonometria, etc. Lo unico que alguna vez use era la tangente, lo que es equivalente a saber cambiar una rueda mientras te enseñan a fabricar autos. Tambien alegaban eso de enseñar a pensar...las pinzas, mera tradicion como señalas, quiza practica de ajedrez o de go habrian sido mas utiles.
    Me paso lo mismo con matrices, pura operatoria; o al gil que lo enseñaba le quedaba como poncho el tema o bien le daba verguenza torturar con eso.

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    1. Los Shaum!!! Se resolvían todos con la esperanza que el profesor sacara justo de ahí las preguntas para la prueba, además casi ningún profesor se quería quebrar la cabeza resolviendo nada así es que colocaban problemas que ya estaban resueltos en el Shaum, Mir, Pisckunoff o cualquiera de esos marmotretos jajaja.
      Yo recién a los 57 años entendí por que los determinantes se llamaban así y que era lo que "determinaban", para colmo lo aprendí de un físico, no de un matemático.
      Sin embargo desde mis años de Inacap resolvía sistemas de ecuaciones de 3x3 usando determinantes, con los ojos cerrados ¡me sabía la maldita receta pero no entendía nada!

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  3. DON TOMAS,
    Muy pero muy buena su columna de hoy. He visto el video y me abrió muchísimo los ojos. Gracias!
    Recuerdo que me hice un programa en Excel que resuelve matrices para encontrar la intersección de curvas para aplicarlo en el Autocad V14 que recién comenzaba a usar 3D. Me hice famoso en la empresa porque cada curva la convertía en una ecuación y lograba los puntos de intersección exactos en el plano que uno quería pero ahora todo es automático…y pero ya es casi grosero la cantidad de herramientas superficiales que tiene.
    A Autodesk les hice solo dos preguntitas y no me quisieron responder directamente…y al final me la respondieron de forma muy diplomática. Qué gran sugerencia. Contáctese con soporte! Pero nada de nada. Autocad quedó estancado completamente y ahora siguen agregándole solo basura para la nueva generación “pensante” .
    Nuevamente, muy buena su columna de hoy. Gracias!!!

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    1. Claro Centurio, gracias al gran Descartes y su geometría analítica sabemos que las curvas pueden ser representadas por ecuaciones y viceversa, el lugar donde dos o más curvas se cruzan en R2 da las coordenadas de los valores x, y, z o lo que sea que son las "raíces" o sea la solución de las ecuaciones.
      Se me ocurre incluso que con un programa de ploteo se podrían resolver por prueba y error sistemas de muchas ecuaciones (hasta 3x3 es sencillo a mano). Es una buena idea y tal vez los de Autodesk la tomaron y la implementaron antes que se te ocurriera patentarla!
      No me había dado cuenta que Excel presenta una manera limpia y clara para trabajar con matrices, no se si tendrá incorporadas herramientas de álgebra de matrices como multiplicación escalar, la inversa, rotación, diagonalización, cambio de base, valor y vector propio y cosas así. De no haberlo hecho deberían hacerlo, tengo entendido que varios software de matemáticas lo hacen pero de Excel no tengo idea, creo que sería muy útil.
      Sobre tu comunicación con Autodesk hay dos posibilidades (a) te atendió un adminsitrativo que no tenía idea de que le estabas hablando o (b) si después la incorporaron, tal vez tomaron nota calladitos para implementarlo antes que se te ocurriera patentarlo o algo así jaja

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    2. Errata, si son x, y, z es en R3 ¡horror y error! jajaja

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    3. Reprobado!. Fregó su brillante columna! Jajajaja!R3!!!!
      Sobre el Excel me inspire en libro Schaum's Outline Series
      Theoty and Problems of Finite Mathematics de Seymour Lipschutz, pag 130
      Sobre Autodesk es que pienso tienen la solución pero no les conviene aplicarla al AutoCad porque el negocio “Inventor” se les va a las pailas. Jajajaja.


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    4. Puede hacer cualquier operación de matrices o determinantes aplicando la solución lineal. Esos es todo. Es un poco enredado escribir las formulas pero la solución de infinitas posibilidades son al instante. Muy buena herramienta matemática como usted dice.
      El Excel tiene infinidad de funciones pero son recetas que no se entienden como este enlace que es el mismo concepto pero sin entender nada de matemáticas…Es una receta de cocina.

      https://www.excel-easy.com/examples/system-of-linear-equations.html

      De nuevo, gracias por la columna!

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    5. En realidad no tenía ni idea, pese a que estuve muchos años dedicado al VBA, casi no tengo idea del uso normal del Excel, no conozco casi ninguna de sus funciones ni herramientas. Muy bueno el link

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    6. Sobre VBA:
      https://excelunusual.com/

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    7. El autor recomienda el Excel V 2003.

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    8. El VBA funciona perfectamente con cualquier versión de Office desde principios de los años 90. Hice programas que funcionaron durante años, especialmente en los Tribunales de Arica, el Servicio de Penitenciería y también para notarías, es una pequeña maravilla que todavía sigue vigente

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  4. Cuando yo era un joven estudiante me dijeron que para prolongar el acto sexual y retrasar el final del mismo convenía imaginarse la resolución de una función geométrica, con x, y, z, visualizar las esferas, paraboloides de revolución, etc.. En ese enotnces costaba encontrar con quien aplicar la teoría. Uls

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    1. Ah Ulschmidt, a mi tampoco me habría resultado, sobre todo porque no tendría con quien pero además soy muy disperso como para concentrarme en dos cosas al mismo tiempo. A veces ni siquiera en una jaja!

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  5. Yo, solo tuve un ramo del que aprendí casi nada producto de una enseñanza mecánica y que fue ecuaciones diferenciales, el resto tuve excelentes profesores, incluso hubo un ramo que hice 2 veces que fue mecánica de sólidos y podría decirse que no fue malo, puesto que los estilos de los 2 profesores de muy alto nivel eran distintos, uno de ellos usaba las ecuaciones de Timochenko y otros en forma extensiva y el otro lo hizo con matemáticas comprensivas es decir con balas, tensores, muy abstractos. Esta última forma me gustó mucho más.

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    1. Quise decir nablas.

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    2. Hola Ariel, como dices tu, desde tu punto de vista te gustó y aprendiste algo interesante entonces perfecto. Otra cosa es que en la ingeniería civil se necesitan muchos más conocimientos de matemáticas que en otras ingenierías, porque un puente es un puente, ahora y cuando los romanos, las herramientas para calcular pueden servir de ayuda pero siempre hay que tomar decisiones sobre resistencia de materiales, deformaciones y cosas así, aunque no tengas necesidad de hacer los cálculos como antes.
      A todo esto a los que les saco el sombrero y les hago una reverencia con rodilla en tierra es a los ingenieros civiles que calculaban edificios antes de las computadoras y calculadoras, con regla de cálculo y tabla Larsen, esos si que eran bravos.

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    3. A lo que me refería más que nada es a la utilidad práctica de desarrollar mecánicamente ecuaciones y todo eso para el trabajo de los ingenieros de la mayoría de las especialidades. Por ejemplo un ingeniero eléctrico, petroquímico, mecánico, etc. puede desempeñarse bien en su trabajo aún si conoce apenas un poco más que el Teorema de Pitagoras, y eso.
      Recuerdo un artículo en Spectrum, la revista de la IIIE donde se alegaba que la mayoría de los contenidos en ramos del ciclo de matemáticas y ciencias básicas eran inútiles para el desempeño profesional, fue un artículo que causó harto revuelo y le encuentro razón en buena parte.
      La formación generalista en ingeniería es un derroche enorme de recursos, mal que mal las catedrales góticas las hicieron maestros al ojímetro, ayudados de escuadra y compás, según el cuento de los QQHHs

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  6. Yo no escribo tanto como usted, pero tengo una historia que es muy buena en la que participe, claro que es larga. En resumen, fue el calcular un equipo minero de una forma no tradicional, utilizando la flexibilidad por sobre la rigidez, en resumen mi jefe en ese entonces se volvió multimillonario con ello, cabe mencionar que la idea era de el, yo fui el técnico que le di soporte a un equipo que según expertos no era viable.

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    1. El 2011 Komatsu compro la empresa dt-hiload

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    2. Algo así como el Principio de los trabajos virtuales?

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    3. Anónimo,
      Excelente idea de curvar las planchas sección elíptica.

      https://dthi-load.com/about/

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    4. https://dthi-load.com/wp-content/uploads/2019/10/dthi-load12-1280x853.jpg

      Es una estructura naval pero al revés. Brillante.

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    5. El concepto fue el diseñar estructuras con período natural de vibración altos (los diseños normales de estructuras son rígidas y tiene período natural bajo), por lo que los conceptos usados son contrarios a los de los diseños normales, por ejemplo en un diseño normal los refuerzos se hacen rigidizando , en este caso para reforzar un sector se le daba mayor ductibilidad al sector y son criterios para nada común en el diseño estructural... Por eso indico que la historia de estos diseños es larga pues se escapa de lo tradicional y el aporte ingenieril y de tipo renacentista fue notable.

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  7. En ese tiempo, ingenieros alemanes de la küffer vinieron a ver si era cierto lo que le indicábamos que hacíamos con sus planchas de acero.

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    1. Como si me hubieras leído la mente, justo acabo de subir una entrada sobre el emprendimiento de Crystal Lagoons

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"Send me a postcard, drop me a line
Stating point of view
Indicate precisely what you mean to say
Yours sincerely, wasting away
Give me your answer, fill in a form
Mine for evermore
Will you still need me, will you still feed me
When I'm sixty-four"