Refrito del domingo: la ventana de Euclides

La ventana de Esuclides (publicado originalmente el 19 de diciembre de 2006)
Ya estoy terminando -que pena- de leer Euclid´s Windows, un excelente libro de divulgación matemática y quiero compartir con ustedes algunas de las ideas raras y asombrosas que allí aparecen. ¿Por que Euclides?, el no escribió ni un solo teorema importante, el puro teorema de Pitágoras en cambio sigue teniendo cientos de miles de nuevas aplicaciones pasados dos mil años. 

La gracia de Euclides fue inventar algo así como el método matemático, un sistema autocontenido con sus propias reglas, para distinguir que está bien y que está mal. Pensemos en Pitágoras: un tipo religioso que creía que los números tenían propiedades mágicas. Cuando descubrió que existían los números irracionales prohibió mencionarlos bajo pena de muerte, y cuando su discípulo Hipassus reveló la existencia de la raíz cuadrada de 2, un número "imperfecto", ¡fué asesinado!. 

Euclides fue el primero en imaginar la geometría como un "juego mental", basado en unas pocas "verdades evidentes" (solo cinco postulados en su caso) a partir de las cuales usando únicamente la lógica las combinaba para construir teoremas cuyo único requisito era ser consistentes (no caer en contradicción), el libro de Euclides llamado Los Elementos contiene toda la geometría en ciento y tantos teoremas, lógicamente impecables. 

La gracia es que siguiendo este método las matemáticas dejaron de depender de la "realidad", de la intuición, de las consideraciones mágicas o religiosas. Este juego mental pasó a ser entonces algo completamente independiente del mundo real como nosotros podemos observarlo. .¿Y de que sirve un juego mental que no depende de la realidad ni de los experimentos?: de mucho porque los experimentos están limitados por las imperfecciones de nuestra percepción, la intuición y el sentido común nos pueden llevar a nuevos descubrimientos, pero también a tremendas equivocaciones. 

Pasados los siglos este método se fue haciendo cada vez más independiente de la realidad: los axiomas que para Euclides eran "verdades evidentes" ya no necesitaron ser verdades, sino definiciones arbitrarias que no se discuten, la prueba de validez era la consistencia de los teoremas y no la verdad de los axiomas. Las demostraciones geométricas pueden ser terriblemente enredadas cuando usan la lógica, gracias a René Descartes (ese de "pienso, luego existo") que inventó los sistemas de coordenadas, las figuras geométricas se pudieron representar por ecuaciones, esto hizo posible usar el álgebra en lugar de la lógica lo que facilitó enormemente el trabajo de demostrar, investigar y manipular figuras. 

Todo es geometría: cualquier problema físico, químico, biológico, etc. es fundamentalmente un asunto de formas y las propiedades de las formas. La geometría depende de la forma en que pensamos que tiene el espacio, o en las palabras de un físico, la forma total del universo. Euclides imaginaba al espacio (o universo, es lo mismo) infinito pero con las propiedades de un inmenso cubo, por eso uno de sus postulados era que pueden existir dos líneas paralelas, que jamás se llegan a encontrar. Pero ¿por qué el espacio va a ser un cubo?, bien podría tener la forma de un plato, o de una inmensa esfera. 

En un universo esférico la geometría de Euclides no se cumple, no hay líneas rectas sino segmentos de arco, no hay paralelas, etc. Fíjense que un universo esférico obliga a que todo tome esa forma, es imposible trazar una línea recta porque el "sustento" (espacio donde se dibuja) no es plano. Y como el método de la geometría no exige verdad, se pueden construír otras geometrías no euclidianas basadas en un espacio en forma de plato, o esférico, etc. que serán igual de válidas mientras no tengan contradicciones internas. 

Resulta que los experimentos de la física, a partir del trabajo de Einstein han mostrado que el universo físico tiene las propiedades de una esfera más que de un cubo. ¿Y por qué se cumple el teorema de Pitágoras y toda la geometría clásica en cosas que usamos diariamente? Es nada más que un asunto de tamaño: en distancias "pequeñas" (dentro del sistema solar por ejemplo), podemos pensar en un universo local con forma de cubo con un error muy pequeño o inapreciable. 

Podemos estirar un cordel perfectamente y pensar que su forma es el segmento de una recta, pero no es así; parece pero no es, la forma es siempre un segmento de arco. En fin, que libro más entretenido. Los libros de divulgación de Stephen Hawkings los encontré francamente malos; una mezcla de historia, opiniones personales y especulaciones que no tienen nada que ver con el asunto. Leonard Mlodinov no divaga en Euclid´s Window , presenta el asunto de forma entretenida y bastante clara considerando que se trata de un asunto para nada claro. 

Entre las anécdotas del libro, miren esta sobre la educación medioeval en la universidad de Boloña:"En Bologna los estudiantes contrataban y despedían a los profesores, los multaban por no hacer clases o llegar atrasados. Si la clase no era interesante, si iba muy lenta, o demasiado rápida o simplemente el profesor no hablaba lo suficientemente fuerte, los alumno se iban o empezaban a arrojar objetos. En Liepzig la universidad tuvo que promulgar una regla que prohibía tirarle piedras a los profesores durante la clase", no estaría mal volver a las viejas buenas prácticas ¿no les parece?. 

Bueno, ya sé que muchos se aburrieron, especialmente el burro de mi ex-alumno Gonzalez, que jamás llegó a entender una sílaba de lo que traté de enseñarle en la universidad. Oye Gonzalez: lo que natura no da, Salamanca no presta ¿como te quedó el eye?. Ah, y la imágen de la entrada muestra las cuatro ecuaciones de Maxwell que me hicieron sudar tinta china en electromagnetismo, a pesar de haber tenido un profesor de lujo en esos años, el gran Tito Torres que me encendió el bichito del interés por la física.