Ecuaciones para dummies

Una de mis grandes satisfacciones es que algunas entradas de este Templo del Ocio han servido de inspiración para estudiantes. Por ejemplo muchachos a los que no les gustaban las matemáticas me han escrito con entusiasmo después de leer mi Matemáticas para dummies, que incluso se ha reproducido en algunos foros. Bueno, para esos va esta nueva entrada de Ecuaciones para dummies, sin más trámite aquí voy:

Una ecuación es -como lo dice su nombre- una igualdad. En lenguaje matemático igual significa "equivalente a", por ejemplo 10 es idéntico a 10, pero es igual a 5+5, o 7+3, etc. O sea nos podemos imaginar a una ecuación como una balanza: mientras los dos lados del signo igual estén equilibrados todo lo que dice es verdad.

Esto que parece tonto tiene consecuencias interesantes. Por ejemplo si alguien me pregunta mi edad y lo quiero embromar, le podría decir -sin mentir- que el doble de mi edad más ocho años son 120 años, o sea a mi edad, que no quiero decir le pongo una letra x quedaría 2x+8=120 ¡ahí tenemos nuestra primera ecuación!.

La gracia es que esta ecuación la podemos manipular de manera de dejar la x sola a un lado. Por ejemplo si elimino el 8 que se está sumando al lado izquierdo pero le resto (operación contraria) 8 al lado derecho, el equilibrio se mantiene y la ecuación sigue siendo verdadera, o sea 2x=120-8, 2x=112. Puedo eliminar el 2 del lado izquierdo de la misma forma, haciendo la operación contraria al lado derecho, es decir dividiendo, y me queda x=112/2, x=56 ¡esa es mi tierna edad pues!

Este ejemplo sencillo muestra toda la ciencia que tiene el álgebra, mantener el equilibrio dejando la incógnita aislada a la izquierda, todos los otros términos de la izquierda se pasan para la derecha haciendo la operación contraria. Eso se llama "despejar la incógnita" o "resolver la ecuación", nada más que eso.

Ya vimos entonces que un uso de las ecuaciones es decir acertijos para impresionar a los que no saben matemáticas básicas. Pero hay otros usos mucho más interesantes y útiles. El otro uso que tienen las ecuaciones es para hacer modelos matemáticos y poder predecir lo que pasaría si se cumplen ciertas condiciones, sin necesidad de hacer realmente el experimento.

Por ejemplo ¿se han preguntado cuan alto podría ser un rascacielo con los materiales que tenemos? creo que los más altos andan por los doscientos pisos ¿podría hacerse uno de quinientos o de dos mil pisos?. Nuestro sentido común y nuestra experiencia nos dicen que mientras más alto, mayores serán las fuerzas que tiene que soportar para no derrumbarse bajo su propio peso, pero ¿cual es realmente el límite? La resistencia de materiales es una ciencia complicadísima para estructuras complejas pero algo nos pueden ayudar las ecuaciones en esto.

Fue Galileo Galilei, el papá de la ciencia, el supremo, quien se hizo por primera vez estas preguntas. En su libro Dos nuevas ciencias, parte presentando el problema simple de una viga sostenida por dos pilares ¿cuanto se puede alargar la viga separando los pilares sin que se desplome por su propio peso?

Esta es la clase de problemas que preocupó a Galileo y lo llevo a descubrir los modelos matemáticos que culminaron con su monumental trabajo de las leyes del movimiento. Bueno, para estas cosas nos sirven las ecuaciones. Fíjense que nos preguntamos "cuanto" era el máximo que se podía alargar la viga, ese "cuanto" es la incógnita que debemos aislar al lado izquierdo y la ecuación que tome en cuenta todos los factores importantes (peso del material, vientos, terremotos o lo que sea) esa ecuación es nuestro "modelo matemático"

Las incógnitas también se llaman "variables" porque pueden ser cantidades que nosotros vamos variando para ver que pasa. En los modelos matemáticos existe una "variable dependiente" (también se llama variable explicada) que representa lo que queremos saber. En nuestro ejemplo la variable dependiente es "cuanto" podemos aumentar el largo de la viga.

Las otras variables como el peso, la velocidad del viento, la energía de un terremoto, etc. son las "variables independientes" (o variables explicativas) que son la causa, los factores que explican el comportamiento de nuestra variable dependiente.

Así, los modelos matemáticos son ecuaciones, que tienen al lado izquierdo la incógnita, lo que queremos saber, y al lado derecho todos los factores variables que influyen en el comportamiento de nuestra incógnita.

Para hacer un modelo matemático identificamos los factores que creemos son los más importantes para explicar al comportamiento de la variable dependiente, luego se hacen muchas mediciones con diferentes valores para tratar de ver si hay constantes en las variables explicativas. Después de un arduo trabajo de álgebra como el que describí al comienzo, se deja la variable dependiente aislada al lado izquierdo y entonces tenemos un modelo matemático, de la forma y=Ax1+Bx2+Cx3...+Zxn, donde:

y=variable dependiente

A, B, C...Z valores constantes (coeficientes)

x1, x2, x3, ...xn variables independientes

O para decirlo de foma matemáticamente correcta y=f(C1x1, C2x2,...CnXn)

Los mejores modelos matemáticos son simples y potentes, la "ecuación de equivalencia" entre la masa y la energía e=mC^2 es famosa por su simplicidad, por su enorme potencia (permite calcular perfectamente la energía liberada en reacciones atómicas) y llevó siglos llegar a determinarla. Un modelo perfecto.

Pero los modelos no son solo con ecuaciones, en economía se trabaja con modelos de programación lineal que usan "inecuaciones" es decir desigualdades. En lugar de ser balanzas con signo igual son expresiones desequilibradas con signos "menor que" o "mayor que". Estas soluciones no dan un número como resultado sino un área con infinitas "soluciones factibles" es decir valores que cumplen con la desigualdad. La programación lineal tiene métodos para elegir máximos o mínimos dentro de esas infinitas soluciones.

Por ejemplo mis ganancias dependen de muchos factores (costos, capital disponible, ventas, etc.) y yo quiero saber cual es la combinación ideal de esos factores manteniendo una ganancia superior a un millón de pesos. Ese es un típico problema de programación lineal.

Otros modelos matemáticos mucho más controvertidos son los estadísiticos, donde trabajamos con datos inciertos y tratamos de determinar tendencias a partir de nubes de datos que no parecen seguir ningún orden. La mayoría de esos modelos usan métodos de regresión lineal, que tratan de construir una línea donde es más probable encontrar los puntos. Igual que en todos los modelos, los de regresión tienen una variable dependiente y otras independientes y tratan de encontrar los coeficientes. El valor de esos coeficientes es normalmente dudoso como predictor. Ese es el punto débil de muchas investigaciones de ciencias sociales, además de eso que "correlación no implica causalidad".

Los modelos pueden ser bonitos y algunas veces funcionan muy bien, pero no siempre, especialmente cuando se trata de modelar asuntos del comportamiento humano. A veces se olvidan que los modelos funcionan bien solo con problemas sencillos.