Refrito del sábado: vectores para dummies

Vectores para dummies (publicado originalmente el 27 de febrero de 2011)

Como es sábado aprovecharé de colocar mi entrada perfectamente aburrida de la semana. Bueno, le podría interesar a alguien que esté estudiando matemáticas y no entienda para que diablos sirven los espacios vectoriales, trataré de explicar de manera simple y sin fórmulas ni demostraciones de que se trata -más o menos- la cosa.

El álgebra lineal debe ser uno de los inventos más útiles de las matemáticas. Integra muchas cosas y ha creado poderosas herramientas para solucionar problemas reales del mundo físico.

Las matemáticas primitivas nacieron de la necesidad de contar, o comparar cantidades: cuantas vacas tenemos, a que distancia está un pueblo y cosas por el estilo. Una vez que tuvimos números para contar desarrollamos unidades de medida: metros, grados celcius y todo eso. Durante muchos siglos las matemáticas se dedicaron a los problemas relacionados con contar y medir y las magnitudes que se podían representar usando un solo número, estos después se conocieron como magnitudes escalares.

Pero cuando Galileo empezó a estudiar el movimiento de las cosas, lo que culminó en los años de Newton con las leyes del movimiento, apareció otro problema: no bastaba con solo un número para describir el movimiento o las fuerzas, porque estos además de magnitud tenían una dirección.

Por ejemplo si alguien nos dice que un punto (digamos una hormiga) se mueve sobre una superficie plana (una mesa por ejemplo) a unos 20 metros por hora, saber eso no es suficiente, porque se podría estar moviendo hacia adelante, atrás, arriba o abajo. Entonces aparecen las magnitudes vectoriales que tienen un escalar (los 20 mt/h por ejemplo) y además una dirección (por ejemplo a 75 grados de un cierto punto de referencia).

Aunque el escalar no da problemas -20 son 20 aquí y en todos lados- para indicar la dirección necesitamos fijar un sistema de referencias, cosa que se le ocurrió al matemático Descartes colocando dos ejes en cruz a 90 grados, el punto donde se cruzan es el origen (0,0) y cualquier punto en el espacio se puede localizar por su vector de posición como muestra la figura, donde la distancia desde el origen hasta A sería un escalar (por ejemplo la distancia desde el origen que fijamos al punto donde se encuentra la hormiga, en metros) y con el ángulo que forma el vector con el eje x podemos indicar exactamente en que posición se encuentra.

Si la trayectoria de nuestra hormiga (o bala de cañón o cohete a la luna para dar otros ejemplos) es irregular, describiendo una curva C, entonces podemos caracterizar su movimiento por los vectores de posición que tiene en cada instante

O sea el movimiento de la hormiga ya lo tenemos más o menos dominado, se puede calcular la derivada en cualquier punto de la curva (que simplificando es como la pendiente de una recta tangente a la curva en ese punto) con lo que tendríamos la velocidad en cada instante. Tenemos un vector de posición que nos permite ubicar a la hormiga en el plano, y otro de velocidad que nos dice hacia donde se mueve y cuan rápido lo está haciendo. Si volvemos a derivar la velocidad sabremos además su aceleración, o sea como está cambiando esa velocidad y en que sentido.

Eso está muy bien para las hormigas, pero si queremos estudiar el movimiento de una mosca la cosa se complica porque el bicho no solo se mueve atrás, adelante, arriba y abajo sino además hacia los lados en infinitos planos. Pasamos entonces a la tercera dimensión y tenemos que agregar un nuevo eje z.

Al pasar de un plano al espacio todo se complica un poco, un punto que en el plano lo ubicábamos por coordenadas (x,y) en el espacio lo tenemos con coordenadas (x,y,z), en lugar de un plano con 4 cuadrantes, el espacio tiene 8 octantes, pero esencialmente todas las operaciones se pueden hacer dejando una dimensión fija como si cortásemos el espacio en tajadas. Se hacen derivadas parciales y listo.

Lo interesante de todo esto es que hemos asumido -sin darnos cuenta- algo importante basado en ideas intuitivas: que el espacio tiene la forma de un inmenso cubo y por eso los ejes x,y,z son líneas rectas y no segmentos de arco como sería si, por ejemplo, asumimos un espacio esférico. Mejor ni pensamos en un espacio en forma de huevo, de pera o lo que sea, mejor seguimos la regla KISS (keep it simple stupid!).

Esta suposición simplifica bastante la cosa, que ya es medio complicado y se complica mucho más a medida que agregamos dimensiones. Otra cosa interesante es que todo lo que hemos hablado con líneas y flechas se puede representar con ecuaciones, gracias a la geometría analítica que inventó Descartes, al que se le ocurrió que cualquier curva o figura geométrica se puede representar por una ecuación. Los sistemas lineales se representan con matrices, una de las herramientas más maravillosas de las matemáticas por las propiedades y simetría. Una matríz es un arreglo de coeficientes más o menos así

Si algún día llego a entender bien como y por que funcionan prometo que lo escribiré acá mismo. Por ahora son un poco magia negra para mi, solo se operarlas pero el día que enseñaron por que funcionan me debo haber resfriado, porque eso no lo aprendí nunca. La cosa es que las matrices sirven básicamente para resolver sistemas de ecuaciones.

Como los ejes x,y,z son rectas (espacio cúbico), los sistemas de ecuaciones son siempre de primer grado (no tienen incógnitas al cuadrado, ni al cubo, etc.) por eso se llama Algebra Lineal (lineal se refiere a líneas rectas: primer grado). Los vectores no solo pueden existir en 2 y 3 dimensiones, pueden haber n dimensiones, por ejemplo en el cambio de Einstein a las leyes de movimiento de Newton, al decir que el tiempo ya no es único y absoluto para todos los sistemas, obligó a agregar la dimensión tiempo como variable y el movimiento se estudia ahora en un espacio de 4 dimensiones.

En más de 3 dimensiones ya no hay forma de hacer representaciones gráficas -con 3 ya es bastante complicado- pero podemos definir y operar espacios vectoriales de n dimensiones. Las dimensiones son -para decirlo de manera sencilla- las incognitas o variables que tenemos: una línea tiene 1 dimensión, un plano 2 dimensiones, un espacio físico 3 o 4 y los espacios matemáticos pueden tener ene, un espacio con infinitas dimensiones creo que se llama Espacio de Hilbert.

O sea el espacio físico de 4 dimensiones que nosotors conocemos es un caso particular de los espacios matemáticos, que pueden tener todas las dimensiones que necesitemos. La teoría electromagnética debe haber sido la primera beneficiada con la idea de los espacios vectoriales y hoy son la herramienta estándar de toda la física moderna. Si ven culquier trabajo de física moderna es muy probable que encuentren un montón de matrices y otros artefactos parecidos.

El primer buen profesor de matemáticas que tuve era un tipo de apellido Galleguillos, desarrollaba los temas con claridad y precisión de una máquina, explicaba como si estuviera recitando poesía. Cuando terminaba de desarrollar algo nos daban ganas de aplaudir y todos lo admirabamos mucho. Recuerdo que el me dió el secreto que me sirvió mucho en la universidad, me dijo "si quieres evitarte problemas con las matemáticas domina el álgebra, es pura mecánica y si practicas eso todo te va a salir fácil". Bueno, no digamos que la dominé pero el consejo igual me sirvió mucho porque nunca reprobé un ramo del ciclo de matemáticas. Repito el consejo por si lee alguien que esté estudiando: practiquen el álgebra, con eso todo lo demás sale solo. Hasta mañana.